【EMVA1288 相机噪声模型】

简介

本文主要参考欧洲机器视觉协会提出的《EMVA1288标准》，这一标准业已广泛用于工业相机的图像传感器性能评估。《EMVA1288标准》中的相机噪声模型非常简单实用，做测量系统的随机误差仿真建模时可以作为参考。

EMVA1288标准

物理模型

1. 光子到达像素后，通过光电效应转化为电子；
2. 曝光时间内产生的电子被电容收集，形成电压；
3. 电压被放大、量化后转换为数字图像的灰度。

光子数

曝光时间内，到达像素的光子数的期望表示为
$${\mu }_p=\frac{AE{t}_{exp}}{hc/\lambda }$$ 其中，$A$表示像素面积，$E$表示像素接收的辐射照度，$t_{exp}$表示曝光时间，$h$表示普朗克常量，$c$表示光速，$\lambda$表示光波长。
因光子的量子特性，像素接收的光子数存在随机性，且满足泊松分布，光子数的方差为$${\sigma }_p^2={\mu }_p$$ 这种随机性导致的图像噪声，被称为散粒噪声。散粒噪声的方差等于光子数的期望。

电子数

每个光子都有概率$\eta$被转化为电子，转化概率称为量子效率。电子数的期望表示为
$${\mu }_e=\eta {\mu }_p$$ 电子数同样存在随机性，且满足泊松分布，其方差表示为$${\sigma }_e^2={\mu }_e=\eta {\mu }_p$$ 证明过程如下：

• 传感器接收到的光子数符合期望为${\mu }_p$的泊松分布
  $$P(X_p=m)=\frac{{{\mu }_p}^m}{m!}{e}^{-{\mu }_p}$$
• 光子以量子效率$\eta$为概率被转化为电子，符合二项分布
  $$P(X_e=n|X_p=m)=\frac{m!}{n!(m-n)!}{\eta }^n(1-\eta {)}^{m-n},m-n\ge 0$$
• 则传感器产生的电子数符合期望为$\eta {\mu }_p$的泊松分布
  $$\begin{array}{lc}P(X_e=n)& =\sum _{m-n=0}^{\infty }\frac{{{\mu }_p}^m}{m!}{e}^{-{\mu }_p}\frac{m!}{n!(m-n)!}{\eta }^n{(1-\eta )}^{m-n}\\ & =\frac{{(\eta {\mu }_p)}^n}{n!}{e}^{-{\mu }_p}\sum _{m-n=0}^{\infty }\frac{{[(1-\eta ){\mu }_p]}^{m-n}}{(m-n)!}\\ & =\frac{{(\eta {\mu }_p)}^n}{n!}{e}^{-{\mu }_p}{e}^{(1-\eta ){\mu }_p}\\ & =\frac{{(\eta {\mu }_p)}^n}{n!}{e}^{-\eta {\mu }_p}\end{array}$$

图像灰度

电子数${\mu }_e$经过系统增益$K$缩放，加上相机暗信号${\mu }_{dark}$，最终输出为图像灰度${\mu }_y$，表示为
$${\mu }_y=K{\mu }_e+{\mu }_{dark}$$ 其中，相机暗信号为相机无光照时图像灰度的均值。无光照时图像灰度的波动称为暗噪声${\sigma }_{y,dark}^2$，图像灰度的方差${\sigma }_y^2$等于经过缩放的电子数方差加上暗噪声方差，再加上统计上呈均匀分布的量化噪声${\sigma }_q^2=1/12$，表示为
$${\sigma }_y^2=K^2{\sigma }_e^2+{\sigma }_{y,dark}^2+{\sigma }_q^2$$ 又因为电子数方差和期望满足${\sigma }_e^2={\mu }_e$，则图像灰度的方差满足
$${\sigma }_y^2=K^2{\sigma }_e^2+{\sigma }_{y,dark}^2=K^2{\mu }_e+{\sigma }_{y,dark}^2+{\sigma }_q^2=K({\mu }_y-{\mu }_{y,dark})+{\sigma }_{y,dark}^2+{\sigma }_q^2$$ 可以发现，图像灰度的期望和方差呈线性关系。通过斜率可确定系统增益，通过截距可确定暗噪声，此方法称为光子转移法。

参考文献

【1】EMVA1288-3.1
【2】更复杂的相机噪声模型，可以参考论文《High-level numerical simulations of noise in CCD and CMOS photosensors: review and tutorial》