流体力学：第二章

第二章：运动学

一、描述流体运动的两种方法

1、拉格朗日法

流体质点初始时刻的坐标与流体质点一一对应，可用来标记流体质点。

对任意质点 P: (a, b, c)，在任意时刻 t 的位置：

其中 a, b, c, t 为自变量，称为拉格朗日变量。x = x(A, t) 称为流体质点的位移函数。

A 固定：x 表示某个确定质点的运动轨迹。t固定： x 表示 t 时刻各质点的位置。

两个基本性质：

1、

2、

2、欧拉法

3、欧拉描述与拉格朗日描述的互换

（1）拉格朗日描述变为欧拉描述

（2）欧拉描述变为拉格朗日描述

4、质点导数

流体质点的物理量对于时间的变化率称作该物理量的质点导数。

（1）拉格朗日描述：直接求导。

（2）欧拉描述

欧拉描述的质点导数

也即：

局部导数：由流场的非定常性引起

迁移导数：由流场的非均匀性引起

二、流场的几何描述

1、迹线：流体质点运动的轨迹

拉格朗日描述和欧拉描述

2、流线：速度场的向量线，该曲线上任意一点的切线方向与在该点的流体速度方向一致

性质：

3、流管

4、光滑流体线与光滑流体面的保持性

流体线和流体面

时间线也是流体线

三、流体微团运动分析

1、几何分析：正交微元六面体经过微小时间间隔将变成斜平行六面体

（1）平行移动：六面体整体平移到新位置；

（2）线变形：六面体经过O点的三条正交流体线伸长或缩短，引起六面 体体积膨胀或压缩；

（3）角变形：过O点有三个正交流体面，每个正交流体面的两正交流体 线之间角度的变化，引起六面体形状变化；

（4）转动：六面体象刚体一样转动。

2、线变形率：单位时间内流体线的相对伸长，称为线变形速率。

流体微团的体积在单位时间内的相对变化，称为体积膨胀速率。

流体微团体积膨胀速率 = 三个方向线变形速率之和 = 速度场的散度

3、流体旋转角速度

过同一点的任意两条正交微元流体线，在它们所在的平面上的旋转角速度的平均值，称为该点流体的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。

4、角变形率：微元平面上两垂直线段夹角在单位时间内减小量之半称为该面的角变形率。用表示。

5、流体的速度梯度张量

流体的速度梯度张量

流体的速度梯度张量可分解为一个对称张量和一个反对称张量：

变形率张量：二阶对称张量，六个独立分量

变形率张量

旋转张量：二阶反对称张量，三个独立分量

旋转张量

6、海姆霍兹速度分解定理

海姆霍兹速度分解定理

意义：流体微团的运动 = 平动 + 变形 （与应力有关）+ 转动（有旋或无旋）

有旋和无旋

四、流场的旋度

1、涡量场及其性质

定义：速度场的旋度成为涡量

性质：涡量场散度为零

涡线：涡量场的向量线

涡面：给定瞬间，通过某一曲线（非涡线）的所有涡线构 成的曲面称为涡面。

涡管：管状涡面的内域。

涡通量：通过某一开口曲面的涡量总和称为涡通量

涡管强度：在给定瞬间，沿涡管各截面上的涡通量大小 相等，并将该涡通量的绝对值称为涡管强度。

2、速度环量

3、无旋流动和速度势

五、给定流场的散度和旋度求速度场

1、由速度场的散度和旋度确定速度场的唯一性定理

已知域内速度场的散度和旋度以及边界上的法向速度， 则可唯一确定域内的速度场。

速度场的求解可分为三个部分：

（1）由速度场的散度求速度场

（2）由速度场的旋度求速度场

（3）满足边界条件的无旋无散速度场的解