数学建模——预测类模型

定义明晰

中短期预测（短期：1年内；中期：2-5年）：例如天气预报、股票价格预测、销售量预测等。

长期预测（5-10年及以上）：例如人口增长、能源消耗、气候变化等。

一、拟合、插值预测

中短期预测          数据需求小2/10/100

自变量（多个）+因变量（一个）           不可反推

1.插值与拟合之间的区别？

插值：原则上曲线要通过图像中给出的点

拟合：原则上不需要经过图像中的任何一个点，只要保证与各点的距离总体足够小即可

2.插值的主要方法？

①分段线性插值：把已知相邻的两个点连起来，预测中间的值，但是用来预测未来的值误差极大

②三次样条插值：如有韧性的木条，光滑曲线，可以显著降低月误差，但是总体不如高阶的拟合

3.拟合的主要方法？

①最小二乘法：图像上与散点的y值相差平方和最小的一个解法，最为方便，也比较可信

②卡尔曼滤波、进阶最小二乘、高次函数拟合…

【附】matlab插值实现：

插值点：在一个已知的数据点集合中，我们希望通过某种方法来估计或推断出其他位置的数值。

被插值点：我们希望获得插值结果的位置。

【附1】一维插值

yi = interp1(x,y,xi,'method')

%x,y为插值点，xi，yi为被插值点和结果，x，y和xi，yi通常为向量

%'method'表示插值方法：常用的有'nearest''linear''spline''cubic'

%spline:三次样条插值，构造三次多项式进行差值

【代码示范】

x=[1,2,3,4,5];

y=[1,2,3,4,5];

xi=1:0.5:5;

yi = interp1(x,y,xi,'spline');

【附2】二维插值

zi = interp2(x,y,z,xi,yi,'method')

%x,y,z为插值点，xi，yi为被插值点，zi为输出的插值结果，即插值函数在（xi，yi）处的值；x，y为向量，xi，yi为向量或矩阵，z和zi为矩阵

%'method'表示插值方法：常用的有'nearest''linear''spline''cubic'

'nearest'表示最近邻插值，即用最近的已知点的值来估计未知点的值。

'linear'表示线性插值，即用两个最近的已知点之间的线性函数来估计未知点的值。

'spline'表示样条插值，即用一组光滑的多项式函数来逼近已知点，并在这些函数之间进行插值。

'cubic'表示三次样条插值，是样条插值的一种特殊情况，其中每个多项式函数都是三次的。

【代码示范】

x = 1:5;

y = 1:3;

temps = [82 80 81 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];

xi = 1:.2:5;

yi = 1:.2:3;

zi = interp2(x,y,temps,xi',yi,'spline');

mesh(xi,yi,zi)

二、线性回归

中短期预测          数据需求中10/100/1000

自变量（多个）+因变量（一个）           可反推

1. 简单线性回归：一个自变量和一个因变量（线性，一&一）
2. 多元线性回归：多个自变量和一个因变量（线性，多&一）
3. 岭回归（L2正则化）：系数缩小，减小过拟合（解决过拟合，系数缩小）

1. lasso（L1正则化）：一些系数变为0，特征选择（解决过拟合，系数为0）

1. 局部加权线性回归：非参数回归方法（非线性）

【补充】 “非参数”指的是该方法不需要对模型的形式、参数等进行假设，而是通过对每个测试点周围的训练点进行加权来进行预测。

线性回归每一个样本对应相同的回归系数易欠拟合

局部加权线性回归每一个样本都有一个自己的回归系数拟合度好但计算量大

适用场景：数据集小、其他模型欠拟合

1. 多项式回归：数据升维+线性回归（非线性）

       数据升维后增加了特征，有利于解决欠拟合问题

局部加权线性回归与多项式回归之间的区别？

多项式回归适用于解决欠拟合问题。

局部加权线性回归则更适用于解决过拟合问题。

同时，还可以考虑使用正则化方法（如岭回归和Lasso回归）

三、时间序列模型

中短期预测          数据需求小12/36/60

因变量（一个）（时间序列数据）            不可反推

1. 具有明显的季节性：季节分解
2. 没有季节性但具有平稳趋势：指数平滑

• 没趋势&没季节性：简单平滑
• 有趋势&没季节性：线性关系：Holt线性趋势模型

                             非线性关系：阻尼趋势模型（非线性关系）

• 没趋势&有季节性：简单季节性
• 有趋势&有季节性：温特趋势

1. 具有复杂趋势和季节性：ARIMA模型

四、Logistic回归（逻辑回归）

长期预测              数据需求中10/100/1000

自变量（多个）+因变量（一个）           不可反推

要求：①变量之间的相关性需要比较小          ②样本的个数需要大于三倍自变量个数

缺点：容易欠拟合，一般准确度不太高

应用： 最经典的是：葡萄酒规划的问题上（好多因变量共同评价葡萄酒的品质）

补充：①逻辑回归结果很差情况下，决策树一般会比较好解决，适合少量样本多维特征情况

②可以考虑降维方法之后再用逻辑回归

③在有很多因变量的时候，可以用主成分分析或者聚类分析来减少自变量

五、神经网络预测

长期预测              数据需求大50/500/5000

自变量（多个）+因变量（一个）           可反推

重点在于大量数据和异常值&缺失值的处理（重点！避免简单删除替换）

1.交代清楚输入输出&迭代次数、学习率等超参数

2.神经网络层数和结点数

3.评价标准很重要（准确率，损失函数，稳定性…）

六、微分方程预测

中短期预测          数据需求小2/10/100

因变量（一个）（微分方程的解）            不可反推

找不到数据之间的关系，但是能找到变化量之间的关系的时候用

七、灰色预测

中短期预测          数据需求小4/10/50

因变量（一个）          不可反推

理论性不强，没法论证，能不用就不用，数据量非常少的时候可以考虑

八、马尔科夫链预测

中短期预测          数据需求中10/100/1000

因变量（一个）（状态转移）            不可反推

序列之间前后传递比较少的，数据和数据之间随机性比较强（比如今明天的气温没有直接联系，只能从趋势判断后天温度是多少）