动态规划 -背包问题-详解

问题

注：大佬对此类问题的解法：动态规划背包问题总结
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

提示：

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 1000
nums 中的所有元素 互不相同
1 <= target <= 1000

程序

#include 

// 定义一个函数来计算总和为目标整数的元素组合的个数
int combinationSum4(int* nums, int numsSize, int target) {
    // 创建一个动态规划数组 dp，长度为 target + 1
    int dp[target + 1];
    
    // 初始化 dp 数组，将所有元素初始化为0
    for (int i = 0; i <= target; i++) {
        dp[i] = 0;
    }

    // 初始状态：总和为0时，只有一种组合方式，即什么都不选
    dp[0] = 1;

    // 开始填充 dp 数组
    for (int i = 1; i <= target; i++) {
        for (int j = 0; j < numsSize; j++) {
            // 如果当前的目标总和减去数组元素可达
            if (i - nums[j] >= 0) {
                // 则将 dp[i] 增加 dp[i - nums[j]]，表示加上当前元素后的组合数
                dp[i] += dp[i - nums[j]];
            }
        }
    }

    // 返回 dp 数组中最终目标总和的组合数
    return dp[target];
}

int main() {
    int nums[] = {1, 2, 3};
    int target = 4;
    int numsSize = sizeof(nums) / sizeof(nums[0]);

    // 调用 combinationSum4 函数，计算组合数
    int result = combinationSum4(nums, numsSize, target);

    // 打印结果
    printf("输出：%d\n", result);

    return 0;
}

解释

在动态规划中，dp[i - nums[j]] 表示以目标值 i 减去数组中的某个元素 nums[j] 后的状态。这通常用于动态规划问题中，特别是在处理组合问题时，来记录前一步的状态。

在上述程序中，dp[i] 表示总和为 i 的组合数。当计算 dp[i] 时，我们遍历数组 nums 中的元素，对于每个元素 nums[j]，我们考虑将其加入总和为 i 的组合中。为了计算 dp[i]，我们需要考虑两种情况：

1. 如果 i 大于等于 nums[j]，那么我们可以将 nums[j] 加入到总和为 i 的组合中。此时，我们需要考虑的是将 nums[j] 加入后，剩余的总和为 i - nums[j] 的组合数，这就是 dp[i - nums[j]]。
2. 如果 i 小于 nums[j]，则 nums[j] 不能被加入到总和为 i 的组合中，因为它会导致总和超过
   i。因此，在这种情况下，dp[i - nums[j]] 为0。

所以，dp[i - nums[j]] 表示以目标值 i 减去数组中的某个元素 nums[j] 后的状态，即剩余的部分。通过考虑所有可能的 nums[j]，我们可以累加所有这些情况，以计算总和为 i 的组合数 dp[i]。这就是动态规划的思想：将较大问题分解成较小问题，并使用较小问题的解来构建较大问题的解。

假设数组 nums 为 [1, 2, 3]，目标值 target 为 4。
初始时，dp 数组如下：

dp[0] = 1
dp[1] = 0
dp[2] = 0
dp[3] = 0
dp[4] = 0

开始计算 dp[1]：

• i 等于 1，nums[j] 等于 1，因此 i >= nums[j]。
• 我们考虑将 1 加入到总和为 1 的组合中，剩余的总和是 1 - 1 = 0。
• 此时，dp[0] 为1，因为只有一种组合方式，即什么都不选。
• 所以，dp[1] = dp[1 - 1] = dp[0] = 1。
  继续计算 dp[2] 和 dp[3]：
• dp[2] 的计算和 dp[1] 类似，因为我们可以将 2 加入到总和为 2 的组合中，dp[2] = dp[2 - 2] = dp[0] = 1。
• dp[3] 的计算也类似，因为我们可以将 3 加入到总和为 3 的组合中，dp[3] = dp[3 - 3] = dp[0] = 1。
  最后，计算 dp[4]：
• 对于 dp[4]，我们可以考虑将 1 加入到总和为 4 的组合中，这就是 dp[4 - 1] = dp[3] = 1。
• 我们还可以考虑将 2 加入到总和为 4 的组合中，这就是 dp[4 - 2] = dp[2] = 1。
• 同样，我们可以考虑将 3 加入到总和为 4 的组合中，这就是 dp[4 - 3] = dp[1] = 1。
• 然后，将这些情况的组合数累加起来，即 dp[4] = 1 + 1 + 1 = 3。

最终，dp[4] 的值为 3，表示总和为 4 的组合数为 3 种，即 [1, 1, 1, 1]、[1, 1, 2] 和 [2, 2]。