343. 整数拆分，96.不同的二叉搜索树

343. 整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

dp数组以及其下标定义：dp[i]：拆分正整数i，得到的最大乘积。

递推公式：dp[i] = j * (i - j) （拆分成两数相乘）或 dp[i] = j * dp[i - j] （拆分成三数或三数以上相乘。dp[i] = dp[i] * dp[i - j] 至少四数相乘，而且已经包含在里面了）。另外在递推时也有不继续拆的情况，也要考虑。

初始化：dp[2] = 1 。

遍历顺序：从前向后（从小到大）。

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i - j; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

96. 不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

这题需要想到二叉搜索树的节点个数也是满足递推条件的，一个节点少的树的节点个数可以等于另一个节点多的树的子树的节点个数。可以设 dp[i] 为由节点 1 到 节点 i 组成二叉搜索树的种数。因为是二叉搜索树，假设根节点为节点 j ，根节点的左子树的节点个数为 j - 1 ，其对应种数为 dp[j - 1] 。根节点的右子树节点个数为 i - j ，其对应种数为 dp[i - j] 。那么 dp[i] 显然等于

 

初始化只要知道 dp[0] ，显然就可以往后递推。递推顺序显然是从前到后（从小到大）。

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        // 从节点个数为 1 的情况递推到节点个数为 n 的情况
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 节点个数为 i 时，考虑根节点为 1 到根节点为 i 的种数，再累加种数
            for(int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}