卡特兰数（转载）

一、关于卡特兰数
卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

二、卡特兰数的一般公式

卡特兰数满足以下性质：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式。h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。**

当然，上面这样的递推公式太繁琐了，于是数学家们又求出了可以快速计算的通项公式。h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)。这个公式还可以更简单得化为h(n)=C(2n,n)/(n+1)。后一个公式都可以通过前一个公式经过几步简单的演算得来，大家可以拿起笔试试，一两分钟就可以搞定。

三、卡特兰数的应用

卡特兰数经常出现在OI以及ACM中，在生活中也有广泛的应用。下面举几个例子。

1、出栈次序：一个栈（无穷大）的进栈次序为1、2、3……n。不同的出栈次序有几种。我们可以这样想，假设k是最后一个出栈的数。比k早进栈且早出栈的有k-1个数，一共有h(k-1)种方案。比k晚进栈且早出栈的有n-k个数，一共有h(n-k)种方案。所以一共有h(k-1)h(n-k)种方案。显而易见，k取不同值时，产生的出栈序列是相互独立的，所以结果可以累加。k的取值范围为1至n，所以结果就为： h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)。
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

2、二叉树构成问题。有n个结点，问总共能构成几种不同的二叉树。
我们可以假设，如果采用中序遍历的话，根结点第k个被访问到，则根结点的左子树有k-1个点、根结点的右指数有n-k个点。k的取值范围为1到n。讲到这里就很明显看得出是卡特兰数了。这道题出现在2015年腾讯实习生的在线笔试题中。有参加过的同学想必都有印象。

3、凸多边形的三角形划分。一个凸的n边形，用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案。
这也是非常经典的一道题。我们可以这样来看，选择一个基边，显然这是多边形划分完之后某个三角形的一条边。图中我们假设基边是p1pn，我们就可以用p1、pn和另外一个点假设为pi做一个三角形，并将多边形分成三部分，除了中间的三角形之外，一边是i边形，另一边是n-i+1边形。i的取值范围是2到n-1。所以本题的解c(n)=c(2)c(n-1)+c(3)c(n-2)+...c(n-1)c(2)。令t(i)=c(i+2)。则t(i)=t(0)t(i-1)+t(1)t(i-2)...+t(i-1)t(0)。很明显，这就是一个卡特兰数了。

4、其他。诸如括号匹配问题、01序列问题、n边形格子从左下角走到右上角不跨过对角线问题。这些都是卡特兰数，其他问题也基本上是上面问题的变种。证明过程就不再赘述了。

题目：

X星球特别讲究秩序，所有道路都是单行线。一个甲壳虫车队，共16辆车，按照编号先后发车，夹在其它车流中，缓缓前行。

路边有个死胡同，只能容一辆车通过，是临时的检查站，如图【p1.png】所示。
X星球太死板，要求每辆路过的车必须进入检查站，也可能不检查就放行，也可能仔细检查。
如果车辆进入检查站和离开的次序可以任意交错。那么，该车队再次上路后，可能的次序有多少种？
为了方便起见，假设检查站可容纳任意数量的汽车。
显然，如果车队只有1辆车，可能次序1种；2辆车可能次序2种；3辆车可能次序5种。
现在足足有16辆车啊，亲！需要你计算出可能次序的数目。

分析：很容易看的出来，就是一道求出栈次序的题目，即问n个元素进栈，有多少不同出栈可能。
就这道题目进行分析：（原文地址：http://blog.csdn.net/u014552756/article/details/51394245）
我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：

                                f(1)= 1     //即 1

                                f(2)= 2     //即 12、21

                                f(3)= 5     //即 123、132、213、321、231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析：

1. 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；

2. 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)， 根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1)* f(2)；

3. 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，

根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；

4. 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)；

结合所有情况，即f(4) = f(3) +f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(4) = f(0)f(3) + f(1)f(2) + f(2) * f(1)+ f(3)*f(0)

然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：

f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + ... +f(n-1)*f(0)

image.png

这道题目也可以直接用卡特兰数（catalan）的递推公式h(n)=h(n-1)(4n-2)/(n+1) 解决
另类递推式^[2]：

h(n)=h(n-1)(4n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(n,2n)*(2n-1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

资料：

https://www.cnblogs.com/code-painter/p/4417354.html
https://blog.csdn.net/JYL1159131237/article/details/79208012