基于梯度的优化方法总结

引言

梯度下降法的核心是在最小化目标函数时，每次迭代中，对每个变量，按照目标函数在该变量梯度的相反方向更新对应的参数值。也就是，在目标函数的超平面上，沿着斜率下降的方向前进，直到遇到最小值（这个最小值不一定是全局最小值）。

梯度下降法

梯度下降推导

一元函数的泰勒展开如下：

只去右边的前两项，则有：

即

我们的目标是在迭代的过程中, 函数值逐渐变小，即

则我们构造

此时，

则迭代形式为：

在使用梯度下降时，需要进行调优：

• 1、算法步长的选择。
• 2、算法参数的初始值选择。
• 3、归一化。

牛顿法

对泰勒展开取前两项，有

两边取导数得

根据微积分性质，当取最小值时导数为0，则有

则牛顿法的参数迭代更新公式为：

函数有极值的必要条件是在极值点处的一阶导数为0，即梯度向量为0。当海森矩阵是正定是，函数的极值为极小值。

梯度下降法和牛顿法虽然都可以根据泰勒展开来推导，但是所依托的思想是不一样的。梯度下降法是梯度求解，牛顿法是用二阶的海森矩阵的逆矩阵求解。相对而言，使用牛顿法收敛更快，但是每次迭代时间较长。

拟牛顿法

在牛顿法中，需要计算二阶海森矩阵的逆矩阵，因此使用近似的矩阵代替逆矩阵。

梯度下降优化算法

在SGD中， ，其中是参数的变化量，是梯度。
SGD存在的问题：因为参数更新比较频繁，会造成cost function有严重的震荡，最终停留在局部最小。
改进方法：
1、加入一阶动量，即在梯度下降过程中加入惯性，使梯度方向不变的维度上速度更快，梯度方向有所改变的维度上的速度变慢，这样可以加速收敛并较小震荡。

一阶动量是移动平均值，参数取经验值0.9，也就是说t时刻的主要下降方向是由t-1时刻的下降方向再加上一点点t时刻的偏向决定的。
2、加入二阶动量

梯度为

3、由于二阶动量会不断积累，导致变化量急剧较少，使用滑动窗口加权平均二阶动量

Adam = 自适应+动量，继承了一阶动量和二阶动量