算法学习笔记——常用技巧：滑动窗口与前缀和思想结合（求子数组数量问题）
关于数组的连续区间的问题，应条件反射想到滑动窗口和前缀和技巧
滑动窗口
利用左右指针，在一次遍历中求解题目
- 典型的问题是：限定一个子数组所需满足的性质，然后求：符合条件的子数组有多少个/符合条件的最长子数组是什么、长度为多少 等
- 每次先扩展窗口，直到不符合要求时，收缩窗口
这样，每一对“扩展和收缩”之后，始终保证窗口是满足要求的、最长的子数组，此时我们维护所需的答案，最终就能得到最优解
应用场景
使用滑动窗口（双指针）解决的问题多与「最小」、「最大」有关，这是因为我们可以在满足条件的前提下，尽可能维护最长的窗口
例如：
LeetCode 3. 无重复字符的最长子串；(VIP)
LeetCode 209. 长度最小的子数组；
LeetCode 76. 最小覆盖子串；(209题的升级版)
LeetCode 159. 至多包含两个不同字符的最长子串；(VIP)
LeetCode 424. 替换后的最长重复字符（⭐转化问题：维护窗口，除了数量最多的字符外，其余字符的个数必须小于等于k）
例题
LeetCode 904. 水果成篮
给出一个数组，求满足条件的最长子数组长度，条件是：数组中所含的数字种类<=2种
字典cnt维护当前窗口内的数字及其个数，kind维护当前窗口内的数字种类，kind超过2时，收缩窗口，不断更新窗口的最大长度r-l+1即可
前缀和
核心思路
核心思路是把多个不同区间的问题，统一为相同类型的子问题
- 具体而言，
[l,r]区间的查询，左右两边界是不固定的，我们固定一边 - 问题转化为：
[l,r]区间和=[0,r+1)区间和 -[0,l)区间和
（所有[0,i)区间的和提前求出）
我们可以推广这种思想：把[左右界不固定的问题] 转化为两个 [左边界固定，右边界不定]的问题
变种-求子数组数量问题：滑动窗口+前缀和思想
前面介绍过，使用滑动窗口（双指针）解决的问题多与「最小」、「最大」有关
然而还有一些问题，不是最大、最小的问题，也可以用滑动窗口求解，但前提是需要把原问题转换成为容易求解的问题
问题要求数组的某个指标在[left,right]范围内/要求指标恰好为k（相当于left=right=k的情况），我们把「某范围内 / 恰好」的复杂问题转化为「最多」的滑动窗口问题
这里需要类比前缀和的思想，（并不是真正的前缀和，而是问题转化的思维）
例如：
- 最大值在
[left,right]之间的子数组数量 =atMost(right)-atMost(left-1)
其中atMost(n)为数组的最大值<=n的子数组数量 - 有k种数字的子数组数量 =
atMost(k)-atMost(k-1)
其中atMost(kind)为数字种类<=kind种的子数组数量
0. 前置知识：求一个数组的子数组个数
要做到不重不漏的统计，有多种方法（例如，可以依次求长度为1、2、…的子数组分别有几个，然而这样的方法不便于代码实现）
- 我们固定子数组的一端，依次求以nums[0]、nums[1]…结尾的子数组个数，然后叠加即可
- 例如，对于
[1,2,3]，r指针从左往右，依次统计了子数组
[1]（+1）、
[1,2]、[2]（+2）、
[1,2,3]、[2,3]、[3]（+3），
共6个子数组
LeetCode 713. 乘积小于K的子数组
给一个数组，求所有数字乘积小于 k 的子数组的个数
分析：
滑动窗口，每次维护以r为右边界的、满足条件的[最长]子数组窗口
每次窗口长L，则新增L个符合要求的子数组
如[2,3]长为2，新增2个乘积小于7的子数组[2,2]、[3]
LeetCode 467. 环绕字符串中唯一的子字符串
类似的思想，以某字母结尾的子串最长为n，则就找到了n种新的不同子串
LeetCode 1358. 包含所有三种字符的子字符串数目
给出只含有a,b,c的字符串s，统计a,b,c都至少出现一次的子串数量(不同下标的相同字符串算多次)
仍然是固定右边界来统计：
维护r指针为结尾的、满足要求的[最短]滑动窗口，对于该窗口，向左扩张同样是满足要求的答案，（s='aaabc','abc'是当前窗口，而'aabc'、'aaabc'也满足）
因此，每次满足条件的最短窗口[l,r],那么新增的答案数量为l+1
LeetCode 340. 至多包含 K 个不同字符的最长子串
1. 求最大值在[left,right]之间的子数组数量
LeetCode 795. 区间子数组个数
给出一个数组，求满足要求的子数组数量，要求：子数组的最大值在[left,right]之间
如nums = [2,1,4,3], left = 2, right = 3，返回3（满足条件的三个子数组：[2], [2, 1], [3]）
这里要统计子数组数目，不仅要保证计数不重不漏，还要满足特定条件
直接思路：
我们如果尝试用滑动窗口一边遍历一边统计会发现比较困难，例如窗口为[2,1]时，最大值在[2,3]之间的子数组数量肯定不是+2，因为[1]并不是这样的子数组；如果这里+2，统计的是最大值不超过3种的子数组数量
（怎么解决呢？如果在每个窗口的位置，依次列举并判断其包含的子数组是否满足要求，显然大大增加了计算量）
转化问题：
类比前面的前缀和思想，我们把问题转化为：
求数组的最大值<=n的子数组数量atMost(n)
则最大值在[left,right]之间的子数组数量 = atMost(right) - atMost(left-1)
再特殊一点，left=right=n，就是求最大值刚好为n的子数组数量，同样可以通过
atMost(n)-atMost(n-1)求出
实现：atMost函数的实现就比较简单了，在前文的子数组计数的方法之上稍加修改即可
class Solution:
def numSubarrayBoundedMax(self, nums: List[int], left: int, right: int) -> int:
# 问题分解为两个子问题，它们都可以由一次遍历求出
# 数组最大值在[left, right] 内的数组数 = 数组最大值小于等于right的数组数 - 数组最大值小于等于left-1的数组数
def atMost(n):
"""求解最大值<=n的子数组数量"""
# 遍历数组中的num，以数字num结尾的，满足要求的最长连续数组长为L，那么就找到了L个符合要求的子数组
combo = 0
ans = 0
for num in nums:
if num <= n:
combo += 1
else:
combo = 0
ans += combo
return ans
return atMost(right) - atMost(left - 1)
2. 求恰好包含K 个不同整数的子数组数量
LeetCode 992. K 个不同整数的子数组
给一个数组，求其中刚好有k种不同数字的子数组数量
如nums = [1,2,1,2,3], k = 2，返回7
（恰好由 2 个不同整数组成的子数组：[1,2], [2,1], [1,2], [2,3], [1,2,1], [2,1,2], [1,2,1,2].）
- 首先，肯定要使用滑动窗口，维护窗口内的数字种类：
r指针枚举所有可能的数组结尾，每次收缩l指针保证当前窗口是满足要求的最长窗口 - 但是，我们无法通过一次滑动窗口直接得出答案：
例如窗口为[1,2]时，刚好有2种数字的子数组数量肯定不是+2，因为[2]并不是这样的子数组，如果这里+2，统计的是数字种类不超过2种的子数组数量
（怎么解决呢？如果在每个窗口的位置，依次列举并判断其包含的子数字是否满足要求，显然大大增加了计算量） - 同样是前缀和的思路转化问题：
数字种类<=kind种的子数组数量为atMost(kind)
有k种数字的子数组数量 =atMost(k)-atMost(k-1)
from collections import defaultdict
class Solution:
def subarraysWithKDistinct(self, nums: List[int], k: int) -> int:
"""求最长连续子数组的长度，要求数组中元素种类==k"""
# 分解子问题
# 满足要求的数组个数 = 元素种类小于等于k的数组个数 - 元素种类小于等于k-1的数组个数
def atMost(kinds):
"""元素种类小于等于kinds的数组个数"""
L = len(nums)
# 滑动窗口
cnt = defaultdict(lambda: 0)
l = 0
# 每次向右扩展窗口，维护窗口内的元素种类数，如果元素种类>kinds，收缩窗口
types, ans = 0, 0
for r, num in enumerate(nums):
# 新入窗口的元素
cnt[num] += 1
if cnt[num] == 1:
types += 1
# 如果多于kinds种，收缩
while types > kinds:
del_num = nums[l]
cnt[del_num] -= 1
if cnt[del_num] == 0:
types -= 1
l += 1
# 此处元素种类数<=kinds
# 统计答案，以num为结尾的，符合条件的子数组数量=当前的窗口长度
ans += r - l + 1
return ans
return atMost(k) - atMost(k - 1)