该函数用于对一组输入 Tensor 进行 Einstein 求和,该函数目前仅适用于paddle
的动态图。
Einstein 求和是一种采用 Einstein 标记法描述的 Tensor 求和,输入单个或多个 Tensor,输出单个 Tensor。
paddle.einsum(equation, *operands)
参数
返回
单操作数
迹:trace
对角元:diagonal
转置:transpose
求和:sum
双操作数
内积:dot
外积:outer
广播乘积:mul,*
矩阵乘:matmul
批量矩阵乘:bmm
多操作数
广播乘积:mul,*
多矩阵乘:A.matmul(B).matmul(C)
关于求和标记的约定
维度分量下标:Tensor 的维度分量下标使用英文字母表示,不区分大小写,如’ijk’表示 Tensor 维度分量为 i,j,k
下标对应输入操作数:维度下标以`,`分段,按顺序 1-1 对应输入操作数
广播维度:省略号`…`表示维度的广播分量,例如,'i…j’表示首末分量除外的维度需进行广播对齐
自由标和哑标:输入标记中仅出现一次的下标为自由标,重复出现的下标为哑标,哑标对应的维度分量将被规约消去
输出:输出 Tensor 的维度分量既可由输入标记自动推导,也可以用输出标记定制化
自动推导输出
定制化输出
维度标记中`->`右侧为输出标记
若输出包含广播维度,则输出标记需包含`…`
输出标记为空时,对输出进行全量求和,返回该标量
输出不能包含输入标记中未出现的下标
输出下标不可以重复出现
哑标出现在输出标记中则自动提升为自由标
输出标记中未出现的自由标被降为哑标
‘…ij, …jk’,该标记中 i,k 为自由标,j 为哑标,输出维度’…ik’
‘ij -> i’,i 为自由标,j 为哑标
‘…ij, …jk -> …ijk’,i,j,k 均为自由标
‘…ij, …jk -> ij’,若输入 Tensor 中的广播维度不为空,则该标记为无效标记
Einsum 求和过程理论上等价于如下四步,但实现中实际执行的步骤会有差异。
第一步,维度对齐:将所有标记按字母序排序,按照标记顺序将输入 Tensor 逐一转置、补齐维度,使得处理后的所有 Tensor 其维度标记保持一致
第二步,广播乘积:以维度下标为索引进行广播点乘
第三步,维度规约:将哑标对应的维度分量求和消除
第四步,转置输出:若存在输出标记,则按标记进行转置,否则按广播维度+字母序自由标的顺序转置,返回转之后的 Tensor 作为输出
关于 trace 和 diagonal 的标记约定(待实现功能)
在单个输入 Tensor 的标记中重复出现的下标称为对角标,对角标对应的坐标轴需进行对角化操作,如’i…i’表示需对首尾坐标轴进行对角化
若无输出标记或输出标记中不包含对角标,则对角标对应维度规约为标量,相应维度取消,等价于 trace 操作
若输出标记中包含对角标,则保留对角标维度,等价于 diagonal 操作
首先,看一下一维度简单实验:
import paddle
# 定义两个输入矩阵
# paddle.seed(102)
# x = paddle.rand([4])
# y = paddle.rand([5])
x = paddle.to_tensor([1,2,], dtype='float32')
y = paddle.to_tensor([3,4,5], dtype='float32')
# sum
sum_x = paddle.einsum('i->', x).numpy()
# dot
dox_x = paddle.einsum('i,i->', x, x).numpy()
# outer
outer_xy = paddle.einsum("i,j->ij", x, y).numpy()
print(f"x: {x.numpy()}, shape: {x.shape}")
print(f"y: {y.numpy()}, shape: {y.shape}")
print(f"sum_x: {sum_x}, shape: {sum_x.shape}")
print(f"dox_x: {dox_x}, shape: {dox_x.shape}")
print(f"outer_xy: {outer_xy}, shape: {outer_xy.shape}")
结果输出为:
x: [1. 2.], shape: [2]
y: [3. 4. 5.], shape: [3]
sum_x: 3.0, shape: ()
dox_x: 5.0, shape: ()
outer_xy: [[ 3. 4. 5.]
[ 6. 8. 10.]], shape: (2, 3)
然后,看一下高纬度的实验:
import paddle
# A = paddle.rand([2, 3, 2])
# B = paddle.rand([2, 2, 3])
A = paddle.to_tensor([[[1,2],[1,2],[1,2]], [[1,2],[1,2],[1,2]]], dtype='float32')
B = paddle.to_tensor([[[3,4,5],[3,4,5]], [[3,4,5],[3,4,5]]], dtype='float32')
# transpose
transpose_A = paddle.einsum('ijk->kji', A)
# batch matrix multiplication
BMM_AB = paddle.einsum('ijk, ikl->ijl', A,B)
# Ellipsis transpose
ET_A = paddle.einsum('...jk->...kj', A)
# Ellipsis batch matrix multiplication
EBMM_AB = paddle.einsum('...jk, ...kl->...jl', A,B)
print(f"A: {A.numpy()}, shape: {A.shape}")
print(f"B: {B.numpy()}, shape: {B.shape}")
print(f"transpose_A: {transpose_A.numpy()}, shape: {transpose_A.shape}")
print(f"BMM_AB: {BMM_AB.numpy()}, shape: {BMM_AB.shape}")
print(f"ET_A: {ET_A.numpy()}, shape: {ET_A.shape}")
print(f"EBMM_AB: {EBMM_AB.numpy()}, shape: {EBMM_AB.shape}")
结果输出为:
A: [[[1. 2.]
[1. 2.]
[1. 2.]]
[[1. 2.]
[1. 2.]
[1. 2.]]], shape: [2, 3, 2]
B: [[[3. 4. 5.]
[3. 4. 5.]]
[[3. 4. 5.]
[3. 4. 5.]]], shape: [2, 2, 3]
transpose_A: [[[1. 1.]
[1. 1.]
[1. 1.]]
[[2. 2.]
[2. 2.]
[2. 2.]]], shape: [2, 3, 2]
BMM_AB: [[[ 9. 12. 15.]
[ 9. 12. 15.]
[ 9. 12. 15.]]
[[ 9. 12. 15.]
[ 9. 12. 15.]
[ 9. 12. 15.]]], shape: [2, 3, 3]
ET_A: [[[1. 1. 1.]
[2. 2. 2.]]
[[1. 1. 1.]
[2. 2. 2.]]], shape: [2, 2, 3]
EBMM_AB: [[[ 9. 12. 15.]
[ 9. 12. 15.]
[ 9. 12. 15.]]
[[ 9. 12. 15.]
[ 9. 12. 15.]
[ 9. 12. 15.]]], shape: [2, 3, 3]
关于matmul
可以查看:https://blog.csdn.net/orDream/article/details/133744368
官方链接:
@misc{BibEntry2023Oct,
title = {{einsum-API文档-PaddlePaddle深度学习平台}},
year = {2023},
month = oct,
urldate = {2023-10-10},
language = {chinese},
note = {[Online; accessed 10. Oct. 2023]},
url = {https://www.paddlepaddle.org.cn/documentation/docs/zh/api/paddle/einsum_cn.html}
}