时间复杂度和空间复杂度
一.时间复杂度
1.1 什么是时间复杂度
时间复杂度计算的是程序运行所花费的时间。但是，同一个程序在不同电脑上运行的时间也是不同的，因为不同电脑的性能不同。所以，一般说时间复杂度并不是真正的代码运行的时间，而是一个程序中代码所运行的次数。将这个次数写成一个数学函数表达式，这个表达式就是此程序的时间复杂度。
1.2 大O渐进表示法
1.2.1 大O表示法的规则
- 仅保留最高次数项。
- 最高项的系数为 1。
- 当代码的运行次数为常数时，统一记为 O(1)。
- 对数阶的时间复杂度不管是以几为底，通常都将对数的底数忽略，也就是都记为 O(logn)。
常见的渐进时间复杂度大小顺序为：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)
1.2.2 示例解释
1.O(n)
#include
using namespace std;
int main()
{
int n; // 运行次数为1
cin >> n; // 运行次数为1
for(int i=0; i < n; i ++)
{
printf("%d ", i); // 运行次数为n
}
int m = 10; // 运行次数为1
while(m --)
{
printf("Hello World\n"); // 运行次数为10
}
return 0;
}
整个程序的运行次数为 n + 13，运行次数的函数表达式为 F(n) = n + 13，大 O 表示法记作 O(n)。
2.O(n^2)
void Func(int n)
{
int count = 0; // 执行次数为1
for(int i =0; i < n; i++) // 总执行次数为n*n
{
for(int j = 0; j < n;j++)
{
count ++;
}
}
for(int k = 0; k < 2 * n; k++) // 执行次数为2n
{
count ++;
}
int m = 10; // 执行次数为1
while(m --) // 执行次数为10
{
count ++;
}
cout << count << endl; // 执行次数为1
}
整个程序的运行次数为 n*n + 2*n + 13，运行次数函数表达式为 F(n) = n*n + 2*n + 13，大 O 表示法记作 O(n^2)。
假设，n = 10，n = 100，n = 1000 ...... 时：
n = 10 时，F(n)=133；
n = 100 时，F(n) = 10213;
n = 1000 时，F(n) = 1002013;
......
随着 n 的增大，n*n 的占比越大，剩余项可以完全忽略，只需要保留该函数表达式中的最高次项。
上述程序的运行次数函数表达式可以简化为 O(n^2)。
1.2.3 最坏情况、最好情况、平均情况
有时，算法运行的次数是不确定的。例如，利用遍历方式在长度为 n 的数组中找一个数字。
分为以下几种情况：
- 最好的情况，我们要找的数字正好是数组第一个元素，此时算法的时间复杂度为 O(1)。
- 最坏的情况，我们要找的数字正好是数组的最后一个元素，此时算法的时间复杂度为 O(n)。
- 在最好和最坏情况间取平均值，即 n/2，利用大 O 表示法时，省略最高项系数，时间复杂度仍为 O(n)。
所以，算法的时间复杂度可分为三种情况
- 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）；
- 平均情况：任意输入规模的期望运行次数；
- 最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）；
1.3 常见的时间复杂度分析
1.O(1)
void f(int n)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
count ++;
}
printf("%d\n", count);
}
2.O(n)
void f(int n)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * n; ++ k)
{
count ++;
}
int m = 10;
while (m --)
{
count ++;
}
printf("%d\n", count);
}
3.O(log n)
不管是以几为底，把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。
在算法分析中，我们通常将对数的底数忽略，因为对于渐进式增长来说，不同对数底数之间的差异是可以忽略的。这是因为我们主要关注算法的增速和趋势，而不是具体的常数因子或底数。因此，当我们说一个算法的时间复杂度是对数阶时，通常表示为 O(log n)，而不考虑底数。无论是以2为底、以10为底、还是以其他任何常数为底，对数增长的趋势都是相同的。
int i = 1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}
4.O(m + n)
m 和 n 表示两个数据规模。
void f(int n, int m)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < m; ++ k)
{
count ++;
}
for (int k = 0; k < n; ++ k)
{
count ++;
}
printf("%d\n", count);
}二.空间复杂度
在计算机发展初期，计算机的存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎。但是经过这几十年计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
2.1 空间复杂度案例
先来看一个例子，现在有一个算法是这样的，给定一个数组，将数组中每个元素都乘以2返回，我实现了下面两种形式：
private static int[] multi1(int[] array) {
int[] newArray = new int[array.length];
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
newArray[i] = array[i] * 2;
}
return newArray;
}
private static int[] multi2(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
array[i] = array[i] * 2;
}
return array;
}
暂且不论这两个算法孰好孰坏，你来猜猜他们的空间复杂度各是多少？
你可能会说第一个算法的空间复杂度为O(n)，第二个算法的空间复杂度为O(1)。
错！两个算法的空间复杂度都是O(n)。也不能说你完全错了，因为大部分书籍或者资料都弄错了。
是时候了解真正的空间复杂度了。
2.1 什么是空间复杂度
空间复杂度，是指一个算法运行的过程占用的空间，这个空间包括输入参数的占用空间和额外申请的空间。
所以，针对上面两个算法：
- 第一个算法，输入参数n，额外空间n，两者相加为2n，去除常数项，空间复杂度为O(n)；
- 第二个算法，输入参数n，额外空间0，两者相加为n，空间复杂度为O(n)。
可以看到，使用空间复杂度很难判断这两个算法的好坏，所以，诞生了另一个概念：额外时间复杂度。
2.2 什么是额外空间复杂度
额外空间复杂度：是指一个算法运行过程中额外申请的空间。
使用额外空间复杂度，针对上面两个算法：
- 第一个算法，额外空间为n，额外空间复杂度为O(n)；
- 第二个算法，额外空间为0，额外空间复杂度为O(1)；
可以看到，从空间占用的角度，使用额外空间复杂度能够很轻易地判断两个算法的好坏。所以，是时候纠正错误的概念了，以后与人交流的时候最好使用“额外空间复杂度”这个概念，但是刷题的时候的要求是空间复杂度，那还是要使用空间复杂度的概念。