第二章 矩阵及其运算

线性方程组和矩阵

线性方程组

三个概念
（1）n元非齐次线性方程组

（2）n元齐次线性方程组

（3）齐次线性方程组的零解、非零解

x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0，称为齐次线性方程组的零解
一组不全为零的数是齐次线性方程组的解，则称为齐次线性方程组的非零解

矩阵的定义

由 m × n 个数 aij 排成的 m 行 n 列的数表称为 m 行 n 列的矩阵，简称 m × n矩阵。记作：

简单概念

1. 这 m × n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元
2. 数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A 的(i, j)元
3. 以数 aij 为(i, j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n
4. m × n 矩阵 A 也记作 Amn。
5. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
6. 行数与列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵
7. 只有一行的矩阵叫 行矩阵/行向量，只有一列的矩阵叫 列矩阵/列向量
8. 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
9. 一对同型矩阵对应的元素相等，则称 A 、B相等，记为 A = B
10. 系数矩阵、未知数矩阵、常数项矩阵、增广矩阵⭐

重要概念

1. 对角矩阵
   
2. 单位矩阵
   

矩阵的运算

矩阵的加法(减法)

1. 要求：两个矩阵必须同型
2. 运算规律

A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + (-A) = 0 => A - B = A + (-B)
其中，-A 为 A 的负矩阵

数与矩阵相乘

1. 运算规律

(λμ)A = λ(μA)
(λ + μ)A = λA + μA
λ(A + B) = λA + λB

矩阵相乘⭐

1. 口诀

内标同可乘，外标决定型
A(m×n) * B(n×s) => C(m×s)

2. 运算规律
   
3. 注解

矩阵的乘法不满足交换律，即一般情形下 AB ≠ BA
AB = O 推不出 A = 0 或 B = 0
A(X - Y) = 0 推不出 X = Y
(A + B)² = A² + B² +AB + BA

矩阵的转置

1. 性质
   
   
   
   

A * AT是 n 阶方阵, AT * A 是一阶方阵（A 为 n 阶方阵，AT 为转置矩阵）

2. 对称矩阵：元素以对角线为对称轴对应相等，则 AT = A

方阵的行列式⭐

1. 定义
   由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 A 的行列式，记作 |A|
2. 性质
   
3. 伴随矩阵⭐
   行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的矩阵，记作 A*
   
   

A* A = |A|E 
A 的伴随矩阵乘以 A 等于 A矩阵的行列式乘以单位矩阵 E

逆矩阵⭐

逆矩阵的定义、性质和求法

1. 定义
   对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使 AB = BA = E，则说明矩阵 A 是可逆的，矩阵 B 称为 A 的逆矩阵，简称逆阵，记作A(-1)
2. 性质

(1)矩阵 A 是可逆的，那么 A 的逆矩阵是惟一的
(2)矩阵 A 可逆，则 |A| ≠ 0  (充分必要条件)
(3)若 |A| ≠ 0，则矩阵 A 可逆，且 A(-1) = (1 / |A|) × A* 
(4)若 AB = E (或 BA = E),则 B = A(-1)
拓展：|A| = 0,A 为奇异矩阵，反之为非奇异矩阵 

3. 运算规律
   
   
   
   
   
   
4. 求法——伴随矩阵法求逆矩阵⭐
   

逆矩阵的初步应用

1. 求未知矩阵
   注：该例子应该先判断 A、B 是否可逆
   
2. 求矩阵的幂

如果容易找出来规律，求矩阵的幂也可以使用归纳法

克拉默法则

1. 定义
   

2. 应用：求线性方程组的解
   

矩阵分块法