素数线性筛

ps：证明转自神牛博客。

代码：

#include
#include

using namespace std;
const int N=100100;
int v[N],p[N],n,m,tot;

int main()
{
    v[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++)
    {
        if (!v[i])
            p[++tot]=i;   //关键处1  
        for (int j=1;p[j]*i<=N;j++)
        {
            v[p[j]*i]=1;
            if (!(i%p[j])) break;   //关键处2   
        }   
    }       
} 

首先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。

不管 i 是否是素数，都会执行到“关键处1”，

①如果 i 都是是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之间不相等

②如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1∗p2∗...∗pn
p_i都是素数 （2≤i≤n），pi≤pj(i≤j)
p1 是最小的系数。
根据“关键处2”的定义，当 p1==prime[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于 p1 的质数*i。

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5
此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i
如果能筛除3*i 的话，当 i’ 等于 i’=3*3*5 时，筛除2*i’ 就和前面重复了。

需要证明的东西：
一个数会不会被重复筛除。
合数肯定会被干掉。
根据上面”只能筛出不大于p1的质数*i”的条件，现在分析一个数会不会被重复筛除。
设这个数为 x=p1*p2*…*pn, pi都是素数（1<=i<=n) , pi<=pj ( i<=j )
当 i = 2 时，就是上面①的情况，
当 i >2 时， 就是上面②的情况， 对于 i ，第一个能满足筛除 x 的数 y 必然为 y=p2*p3…*pn（p2可以与p1相等或不等），而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。

证明合数肯定会被干掉？ 用归纳法吧。

类比一个模型，比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ，1<=i<=n, 1<=j<=n,
我们会这么写

for (i=1; ii )
  for (j=i+1; j<=n; ++j)
   {
       ......
   }

我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理，不过这里比较难理解，没那么直观。