用javascript分类刷leetcode3.动态规划(图文视频讲解)

什么是动态规划

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，将问题分解为互相重叠的子问题，通过反复求解子问题来解决原问题就是动态规划，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划来解是比较有效的。

求解动态规划的核心问题是穷举，但是这类问题穷举有点特别，因为这类问题存在「重叠子问题」，如果暴力穷举的话效率会极其低下。动态规划问题一定会具备「最优子结构」，才能通过子问题的最值得到原问题的最值。另外，虽然动态规划的核心思想就是穷举求最值，但是问题可以千变万化，穷举所有可行解其实并不是一件容易的事，只有列出**正确的「状态转移方程」**才能正确地穷举。重叠子问题、最优子结构、状态转移方程就是动态规划三要素

动态规划和其他算法的区别

1. 动态规划和分治的区别：动态规划和分治都有最优子结构 ，但是分治的子问题不重叠
2. 动态规划和贪心的区别：动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优解，所以它永远是局部最优，但是全局的解不一定是最优的。
3. 动态规划和递归的区别：递归和回溯可能存在非常多的重复计算，动态规划可以用递归加记忆化的方式减少不必要的重复计算

动态规划的解题方法

• 递归+记忆化(自顶向下)
• 动态规划（自底向上）

解动态规划题目的步骤

1. 根据重叠子问题定义状态
2. 寻找最优子结构推导状态转移方程
3. 确定dp初始状态
4. 确定输出值

斐波那契的动态规划的解题思路

动画过大，点击查看

暴力递归

//暴力递归复杂度O(2^n)
var fib = function (N) {
   
    if (N == 0) return 0;
    if (N == 1) return 1;
    return fib(N - 1) + fib(N - 2);
};

递归 + 记忆化

var fib = function (n) {
   
    const memo = {
   }; // 对已算出的结果进行缓存

    const helper = (x) => {
   
        if (memo[x]) return memo[x];
        if (x == 0) return 0;
        if (x == 1) return 1;
        memo[x] = helper(x - 1) + helper(x - 2);
        return memo[x];
    };

    return helper(n);
};

动态规划

const fib = (n) => {
   
    if (n <= 1) return n;
    const dp = [0, 1];
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
   
        //自底向上计算每个状态
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
};

滚动数组优化

const fib = (n) => {
   
    if (n <= 1) return n;
    //滚动数组 dp[i]只和dp[i-1]、dp[i-2]相关，只维护长度为2的滚动数组，不断替换数组元素
    const dp = [0, 1];
    let sum = null;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
   
        sum = dp[0] + dp[1];
        dp[0] = dp[1];
        dp[1] = sum;
    }
    return sum;
};

动态规划 + 降维，（降维能减少空间复杂度，但不利于程序的扩展）

var fib = function (N) {
   
    if (N <= 1) {
   
        return N;
    }
    let prev2 = 0;
    let prev1 = 1;
    let result = 0;
    for (let i = 2; i <= N; i++) {
   
        result = prev1 + prev2; //直接用两个变量就行
        prev2 = prev1;
        prev1 = result;
    }
    return result;
};

343. 整数拆分 (medium)

视频讲解：传送门

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

2 <= n <= 58

• 思路：dp[i]为正整数i拆分之后的最大乘积，循环数字n，对每个数字进行拆分，取最大的乘积，状态转移方程：dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j, (i - j) * j)，j*(i-j)表示把i拆分为j和i-j两个数相乘，j * dp[i-j]表示把i拆分成j和继续把(i-j)这个数拆分，取(i-j)拆分结果中的最大乘积与j相乘
• 复杂度：时间复杂度O(n^2)，两层循环。空间复杂度O(n)，dp数组的空间

js：

var integerBreak = function (n) {
   
    //dp[i]为正整数i拆分之后的最大乘积
    let dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[2] = 1;

    for (let i = 3; i <= n; i++) {
   
        for (let j = 1; j < i; j++) {
   
            //j*(i-j)表示把i拆分为j和i-j两个数相乘
            //j*dp[i-j]表示把i拆分成j和继续把(i-j)这个数拆分，取(i-j)拆分结果中的最大乘积与j相乘
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j, (i - j) * j);
        }
    }
    return dp[n];
};

152. 乘积最大子数组 （medium）

视频讲解：传送门

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。

子数组 是数组的连续子序列。

示例 1:

输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。
示例 2:

输入: nums = [-2,0,-1]
输出