C++数据结构AVL树

AVL树

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本博客主要内容介绍数据结构中的avl树

AVL树

Ⅰ.avl树

底层结构

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个 共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中 插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此 map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

Ⅱ. avl树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均 搜索长度。 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
• 
  如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

Ⅱ. Ⅰ AVL树节点的定义

二叉树节点的定义：

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
 AVLTreeNode(const T& data)
     : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
 , _data(data), _bf(0)
 {}
 AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
 AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
 AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
 T _data;
 int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

Ⅱ. Ⅱ AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

bool Insert(const T& data)
{
    // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
    // ...
    
    // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
破坏了AVL树
    //   的平衡性
    
 /*
 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
  
 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
成0，此时满足
     AVL树的性质，插入成功
  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
新成正负1，此
     时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
行旋转处理
 */
 while (pParent)
 {
        // 更新双亲的平衡因子
 if (pCur == pParent->_pLeft)
 pParent->_bf--;
 else
 pParent->_bf++;
 // 更新后检测双亲的平衡因子
 if (0 == pParent->_bf)
       {    
            break;
       }
 else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
 {
              // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲
为根的二叉树
              // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
 pCur = pParent;
 pParent = pCur->_pParent;
 }
 else
 {
 // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
 // 为根的树进行旋转处理
              if(2 == pParent->_bf)
             {
                  // ...
             }
              else
             {
                  // ...
             }
 }
 }
 return true;
}
     

Ⅱ. Ⅲ AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

①新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

/*
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到8的左子树(注意：此处不是左孩子)中，8左
子树增加
了一层，导致以34为根的二叉树不平衡，要让34平衡，只能将34左子树的高度减少一层，右子
树增加一层，
即将左子树往上提，这样34转下来，因为34比8大，只能将其放在8的右子树，而如果8有
右子树，右子树根的值一定大于8，小于34，只能将其放在34的左子树，旋转完成后，更新节点
的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
  1. 8节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  2. 34可能是根节点，也可能是子树
     如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
     如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

同学们再此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
*/
void _RotateR(PNode pParent)
{
    // pSubL: pParent的左孩子
    // pSubLR: pParent左孩子的右孩子，注意：该
 PNode pSubL = pParent->_pLeft;
 PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
    // 旋转完成之后，8的右孩子作为双亲的左孩子
 pParent->_pLeft = pSubLR;
    // 如果8的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
 if(pSubLR)
 pSubLR->_pParent = pParent;
    // 34 作为 8的右孩子
  pSubL->_pRight = pParent;

    // 因为34可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存34的双亲
 PNode pPParent = pParent->_pParent;

    // 更新34的双亲
 pParent->_pParent = pSubL;

    // 更新8的双亲
 pSubL->_pParent = pPParent;
    // 如果34是根节点，根新指向根节点的指针
 if(NULL == pPParent)
 {
 _pRoot = pSubL;
 pSubL->_pParent = NULL;
 }
 else
 {
         // 如果34是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
 if(pPParent->_pLeft == pParent)
 pPParent->_pLeft = pSubL;
 else
 pPParent->_pRight = pSubL;
 }
    // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
 pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
}

②新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

实现方法和右单旋极其类似

void RotateL(node* parent)
		{
			node* subR = parent->_right;
			node* subRL = subR->_left;


			parent->_right = subRL;
			if (subRL)
				subRL->_parent = parent;

			node* ppnode = parent->_parent;

			subR->_left = parent;
			parent->_parent = subR;

			if (ppnode == nullptr)
			{
				_root = subR;
				_root->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (ppnode->_left == parent)
				{
					ppnode->_left = subR;
				}
				else
				{
					ppnode->_right = subR;
				}
				subR->_parent = ppnode;
			}

			parent->_bf = subR->_bf = 0;
		}

③新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再 考虑平衡因子的更新。

	void RotateLR(node* parent)
		{
			node* subL = parent->_left;
			node* subLR = subL->_right;
			int bf = subLR->_bf;

			RotateL(parent->_left);
			RotateR(parent);
			//以下更新节点的平衡因子的情况需要通过一个一个画图去分析
			if (bf == 1)
			{
				parent->_bf = 0;
				subLR->_bf = 0;
				subL->_bf = -1;
			}
			else if (bf == -1)
			{
				parent->_bf = 1;
				subLR->_bf = 0;
				subL->_bf = 0;
			}
			else if (bf == 0)
			{
				parent->_bf = 0;
				subLR->_bf = 0;
				subL->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

④新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

	void RotateRL(node* parent)
	{
			node* subR = parent->_right;
			node* subRL = subR->_left;
			int bf = subRL->_bf;

			RotateR(parent->_right);
			RotateL(parent);
			//以下更新节点的平衡因子的情况需要通过一个一个画图去分析
			if (bf == 1)
			{
				parent->_bf = -1;
				subRL->_bf = 0;
				subR->_bf = 0;
			}
			else if (bf == -1)
			{
				parent->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
				subR->_bf = 1;
			}
			else if (bf == 0)
			{
				parent->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
				subR->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

Ⅲ. AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

①验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

②验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
• 节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{
 // 空树也是AVL树
 if (nullptr == pRoot) return true;
    
 // 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
 int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
 int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
 int diff = rightHeight - leftHeight;
 // 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
 // pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
 if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
 return false;
 // pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
 return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot-
>_pRight);
 }

③验证用例

请同学们结合上述代码按照以下的数据次序，自己动手画AVL树的创建过程，验证代码 是否有漏洞。

• 常规场景1

  {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}

• 特殊场景2

  {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14}

Ⅳ.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数 据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

[什么是AVL树][https://zhuanlan.zhihu.com/p/56066942]

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