动态规划(高数Umaru系列9——哈士奇、最少硬币问题、数字三角形问题、最长公共子序列问题、石子合并问题)
1.高数Umaru系列9——哈士奇
题目描述：
由于高数巨养的喵星人太傲娇了，要天天吃新鲜猫粮而且还经常欺负高数巨，所以高数巨决定买几条哈士奇尝尝鲜。这天高数巨来到了二手狗市场买哈士奇，高数巨看完了所有的哈士奇，记下了每条哈士奇的价格，并根据对它们的好感程度给它们每只都赋予了一个萌值。高数现在手里有X元，她想通过购买若干条哈士奇来获得尽可能多的萌值。现在给定高数巨手里的钱X以及N条哈士奇的价格和萌值，求高数巨最多可获得多少萌值
输入格式：
多组输入。
对于每组输入，第一行有两个整数N，X（1 < = N < = 100，1 < = X < = 1000），分别表示哈士奇的数量和高数巨的钱数
接下来的N行每行有两个整数Pi，Mi（1 < = Pi,Mi < = 100），分别表示第i条哈士奇的价格和萌值
输出格式：
对于每组数据，输出一个整数，表示高数巨最多可以获得的萌值，每组输出占一行
样例
输入：
2 100
50 20
60 40
3 100
20 55
20 35
90 95
1 10
20 50
输出：
40
95
0
思路：
此题为经典的01背包问题
代码一：(二维DP）
#include代码二：(一维DP，C++)
#include代码三（一维DP，Python）
while True:
try:
n, x = map(int, input().split())
p, m, dp = [0] * 105, [0] * 105, [0] * 1005
for i in range(1, n + 1):
p[i], m[i] = map(int, input().split())
for i in range(1, n + 1):
for j in range(x, 0, -1):
if j < p[i]:
dp[j] = dp[j]
else:
dp[j] = max(dp[j], dp[j - p[i]] + m[i])
print(dp[x])
except EOFError:
break
2.最少硬币问题
题目描述：
设有n种不同面值的硬币，各硬币的面值存于数组T[1:n]中。现要用这些面值的硬币来找钱。可以使用的各种面值的硬币个数存于数组Coins[1:n]中。
对任意钱数0≤m≤20001，设计一个用最少硬币找钱m的方法。
对于给定的1≤n≤10，硬币面值数组T和可以使用的各种面值的硬币个数数组Coins，以及钱数m，0≤m≤20001，计算找钱m的最少硬币数。
输入格式：
输入数据第一行中只有1个整数给出n的值,第2行起每行2个数，分别是T[j]和Coins[j]。最后1行是要找的钱数m。
输出格式：
输出数据只有一个整数，表示计算出的最少硬币数。问题无解时输出-1。
样例
输入：
3
1 3
2 3
5 3
18
输出：
5
代码：
#include3.数字三角形问题
题目描述：
给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。
对于给定的由n行数字组成的数字三角形，计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。
输入格式：
输入数据的第1行是数字三角形的行数n，1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0…99之间。
输出格式：
输出数据只有一个整数，表示计算出的最大值。
样例
输入：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出：
30
代码一（C++）：
#include代码二（Python）
n, a = int(input()), []
for i in range(n):
a.append(list(map(int, input().split())))
for i in range(n - 2, -1, -1): # # 自下而上,也就是从倒数第2行到第0行
for j in range(i + 1): # 第i行有i+1个数字
a[i][j] = max(a[i + 1][j], a[i + 1][j + 1]) + a[i][j] # 每次转移从它的正下方或者右下方转移
print(a[0][0])
4.最长公共子序列问题
题目描述：
给定两个序列 X={x1,x2,…,xm} 和 Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。
输入格式：
输入数据有多组，每组有两行 ，每行为一个长度不超过500的字符串（输入全是大写英文字母（A,Z）），表示序列X和Y。
输出格式：
每组输出一行，表示所求得的最长公共子序列的长度，若不存在公共子序列，则输出0。
样例
输入：
ABCBDAB
BDCABA
输出：
4
代码一（C++）：
#include 代码二（Python）
while True:
try:
s1 = input()
s2 = input()
n, m = len(s1), len(s2)
dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)] # 二维dp数组初始化
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, m + 1):
if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 # s1与s2字符相同时,LCS长度+1
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) # s1与s2字符不同时 返回s1或s2向前减少一位之后的LCS中的较大者
print(dp[n][m])
except EOFError:
break
5.石子合并问题
题目描述：
在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。
对于给定n堆石子,计算合并成一堆的最小得分和最大得分。
输入格式：
输入数据的第1行是正整数n，1≤n≤100，表示有n堆石子。第二行有n个数，分别表示每堆石子的个数。
输出格式：
输出数据有两行，第1行中的数是最小得分，第2行中的数是最大得分。
样例
输入：
4
4 4 5 9
输出：
43
54
代码一（C++）：
#include代码二（Python）：
dp1 = [[1e9] * 180 for _ in range(180)]
dp2 = [[-1] * 180 for _ in range(180)]
st, Sum = [0] * 180, [0] * 180
n = int(input())
ls = list(map(int, input().split()))
for i in range(1, n + 1):
st[i + n] = st[i] = ls[i - 1]
dp1[i][i], dp2[i][i], dp1[i + n][i + n], dp2[i + n][i + n] = 0, 0, 0, 0
for i in range(1, 2 * n):
Sum[i] = Sum[i - 1] + st[i]
for i in range(2, n + 1):
for j in range(1, 2 * n - i + 1):
e = j + i - 1
for k in range(j, e):
dp1[j][e] = min(dp1[j][e], dp1[j][k] + dp1[k + 1][e] + Sum[e] - Sum[j - 1])
dp2[j][e] = max(dp2[j][e], dp2[j][k] + dp2[k + 1][e] + Sum[e] - Sum[j - 1])
Min, Max = 1e9, -1
for i in range(1, n + 1):
Min = min(Min, dp1[i][i + n - 1])
Max = max(Max, dp2[i][i + n - 1])
print("%d\n%d" % (Min, Max))