连续-可导-光滑

一元函数连续是一条连着的曲线，可导函数是一条光滑的曲线，

连续的曲线不一定都光滑，因为可能有折角；但光滑的曲线一定是连续的。

可微和可导等价，所以可微一定连续。

可导一定连续，连续不一定可导。

连续一定有界，可积一定有界。

有定义不一定有极限存在；
极限存在不一定连续；
连续不一定光滑；
光滑不一定可导。
没有定义肯定不可导；
有定义但不连续肯定不可导；
极限不存在肯定不可导；
不光滑肯定不可导；
光滑不一定可导。
可导就是可微，可微就是可导；
可导的函数，一定是光滑的；
可导的函数，一定是连续的；
可导的函数，一定有极限存在；
可导的函数，一定有定义。
既有定义，又连续、又光滑，又不是垂直切线的切点，才是可导、可微。

连续用连绵不断来形容
可导用平滑或光滑来形容
在有些地方，提到光滑性理解为无穷阶可导，应该不正确

一元函数：

连续是一条连着的曲线，可导函数是一条光滑的曲线，

连续的曲线不一定都光滑，因为可能有折角；但光滑的曲线一定是连续的。

结论：

可导一定连续，连续不一定可导。

多元函数：

连续是一个连续的曲面，可微是一个光滑的曲面，

连续的曲面不一定光滑，就像一张纸折起来再拉开，是连续的但不光滑；但光滑的曲面一定是连续的。