有限群元素的阶必然存在

前言：仅个人小记。即证明有限群中的元素必然可以通过自乘达到幺元。

证明

对于有限群 G， $\forall a\in G$，元素 a 的阶都存在。元素自乘序列如下；$$a,a^2,a^3,...$$
因为 G 是一个群，所以根据封闭性必然有 $$a^i\in G$$又因为群 G 是有限的，所以必然有$$a^i=a^j,i<j$$进而$$a^i=a^{j-i}{a}^i$$又因为 G 是群，所以群中元素都可逆，进而有$$a^i(a^i{)}^{-1}=a^{j-i}{a}^i(a^i{)}^{-1}$$进而$$e=a^{j-i}$$这一结果说明了有限群 G 中的任意元素都可以通过自乘达到幺元 e，进而很容易知道任意元素 a 的阶都是存在的。证毕！