凸凹函数定义以及判断

凹凸函数在同济大学高等数学中的定义符合人们的思维定式。在国际上的定义恰好与同济大学高等数学中的定义相反。

1、同济大学高等数学定义：

2、国际上的定义：

国际上的定义刚好与国内的凹凸函数的定义相反。二阶导数大于0，则为凸函数，有极小值；二阶导数小于0，则为凹函数，有极大值（后面涉及到的凹凸函数，均为国际上的定义）；

3、e^x的二阶导数大于0，为凸函数；logx的二阶导数小于0，为凹函数；一元函数可以很容易的判断凹凸性，二元函数如何判断凹凸性？用到了海塞矩阵，根据海塞矩阵的正定性，判断凹凸性。

①海塞矩阵

②正定矩阵

判断海塞矩阵是否为正定矩阵；若所有特征值均不小于零，则称为半正定。 若所有特征值均大于零，则称为正定。特征值怎么求？|λE-A|=0，可以求出特征值。若主对角线上的元素都为0，则主对角线上的值为特征值。detA=|A|=对角线元素积。

③凹凸性判断（正定矩阵为凸函数）:

例题1：f(x,y)=x^2+5y^2-6x+10y+6

所有的特征值均大于0，海塞矩阵为正定矩阵，函数为凸函数。

例题2：f(x,y)=10(y^2+4x)^2+(1-4y)^2

经过行列式变化(行列式性质：把一行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式不变)，把主对角线上的元素变为0，第一个特征值为320，第二个特征值先不计算。可以计算|A|=320*第二个特征值=对角相乘再相减，利用这个连等式，若该函数为凸函数，则第二个特征值也必须大于0，那么|A|>0；320*(120y^2+160x*32)-160*160y^2=2560(5y^2-20x+4)>0是f(x,y)为凸函数的条件。驻点：dz/dx=0，dz/dy=0，即x=1/64，y=1/4；而x和y的值满足5y^2-20x+4>0,所以满足凸函数性质，有唯一极小值。

例题3：f(x,y)=x^2/y

根据特征值，一个为2/y，一个为0，那么y的正负决定函数的凹凸性，若y>0,函数为凸函数。