红黑树与AVL树是数据结构中避不开的话题,也是面试中常问的问题。今天就把他们总结在一起。
向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。为什么高度差的绝对值不超过1而不是0呢?因为如果高度差的绝对值不超过0,那么二叉树就变成满二叉树了,因此绝对值不能超过1。这就引入了平衡二叉树的概念:
AVL树也是一种自平衡的二叉搜索树,它通过节点的平衡因子(左子树高度减去右子树高度)来保持树的平衡性。AVL树的平衡性维护主要通过旋转操作来实现。
1、插入新节点时,按照二叉搜索树的规则将其插入到合适的位置。
2、自底向上遍历从插入节点到根节点的路径,更新每个节点的平衡因子。
3、如果某个节点的平衡因子超过了1或-1,表示树失去了平衡,需要进行旋转操作来恢复平衡。
a、如果插入节点在失衡节点的左子树的左子树中,进行右旋操作。
b、如果插入节点在失衡节点的右子树的右子树中,进行左旋操作。
c、如果插入节点在失衡节点的左子树的右子树中,先对失衡节点的左子树进行左旋操作,再对失衡节点进行右旋操作。
d、如果插入节点在失衡节点的右子树的左子树中,先对失衡节点的右子树进行右旋操作,再对失衡节点进行左旋操作。
重复步骤2和步骤3,直到达到根节点。
删除节点时,按照二叉搜索树的规则找到要删除的节点。
如果要删除的节点是叶子节点或只有一个子节点,直接删除并调整平衡即可。
如果要删除的节点有两个子节点,可以选择前驱或后继节点来替代删除节点,然后删除前驱或后继节点,并调整平衡。
1、自底向上遍历从删除节点到根节点的路径,更新每个节点的平衡因子。
2、如果某个节点的平衡因子超过了1或-1,表示树失去了平衡,需要进行旋转操作来恢复平衡。
a、旋转操作的类型和步骤与插入节点时的旋转操作相同。
重复上面,直到达到根节点。
学过二叉查找树的同学都知道,普通的二叉查找树在极端情况下可退化成链表,此时的增删查效率都会比较低下。为了避免这种情况,就出现了一些自平衡的查找树,比如 AVL,红黑树等。这些自平衡的查找树通过定义一些性质,将任意节点的左右子树高度差控制在规定范围内,以达到平衡状态。
红黑树主要有这五条性质。
1.节点不是红色就是黑色
2.根节点是黑色
3.叶子节点(NIL)为黑色
4.每个红色节点的两个子节点都是黑色。((从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点
红黑树的删除操作相对比较复杂,因为删除一个节点可能会引发多种情况,需要仔细考虑旋转和颜色调整来维持红黑性质。以下是红黑树中执行删除操作的详细步骤,包括可能涉及的旋转和颜色调整。
删除操作的基本步骤:
找到要删除的节点: 首先,找到需要删除的目标节点。如果目标节点有两个子节点,可以选择它的后继节点(即右子树中最小的节点)来替代删除。
删除节点并用子节点替代: 删除目标节点,并用它的子节点(或者后继节点)来替代它的位置。
颜色调整和旋转: 在删除操作中,可能会导致红黑性质被破坏。以下是删除操作中可能需要考虑的情况:
删除节点为红色节点: 如果删除的节点是红色的,它不会破坏红黑性质。只需将它从树中移除即可。
删除节点为黑色节点: 删除的黑色节点可能会引发性质的破坏,需要进行颜色调整和旋转操作。
a. 删除节点有一个红色子节点: 如果删除的节点有一个红色子节点,用红色子节点替代删除节点,然后将子节点染成黑色,以保持黑高度性质。
b. 删除节点没有红色子节点: 如果删除的节点没有红色子节点,那么需要通过颜色调整和旋转来修复。
红黑树(Red-Black Tree)和AVL树(Adelson-Velsky and Landis Tree)都是自平衡二叉搜索树,用于在动态数据集上进行高效的插入、删除和搜索操作。它们之间有一些相似之处,但也存在一些关键的区别。下面是红黑树和AVL树的比较:
平衡性:
红黑树:红黑树保证了一种弱平衡,即树的高度最多是2倍的对数级别。这使得红黑树在插入和删除操作时具有更高的灵活性,但可能导致一些操作稍微不如AVL树高效。
AVL树:AVL树是一种严格的平衡树,保证任何节点的左子树和右子树的高度差(平衡因子)不超过1。这确保了AVL树在平衡方面表现更好,但在插入和删除操作时可能需要更多的旋转来维持平衡。
插入和删除操作的性能:
红黑树:由于红黑树的平衡性要求相对较弱,插入和删除操作通常需要更少的旋转操作,因此在这些操作上性能可能比AVL树更好。
AVL树:AVL树的严格平衡性可能导致插入和删除操作需要更频繁的旋转操作,因此在这些操作上可能比红黑树略逊一筹。
搜索性能:
两者在搜索操作上都表现良好,因为它们都是二叉搜索树,保持了有序性。
存储空间:
红黑树:红黑树在维护平衡的同时,需要存储额外的颜色信息,因此通常比AVL树占用更少的存储空间。
AVL树:AVL树由于需要维护严格的平衡,可能需要更多的额外指针和信息,因此通常比红黑树占用更多的存储空间。
适用场景:
红黑树:适用于在插入和删除操作较频繁、搜索操作相对较少的场景,例如在数据库索引中。
AVL树:适用于搜索操作频繁、插入和删除操作相对较少的场景,以及对于对树的平衡性要求较高的场景。