LeetCode刷题复盘笔记—一文搞懂动态规划之714. 买卖股票的最佳时机含手续费问题（所有股票问题总结）（动态规划系列第二十六篇）

今日主要总结一下动态规划的一道题目，714. 买卖股票的最佳时机含手续费

题目：714. 买卖股票的最佳时机含手续费

Leetcode题目地址
题目描述：
给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6

提示：

1 <= prices.length <= 5 * 104
1 <= prices[i] < 5 * 104
0 <= fee < 5 * 104

本题重难点

这道题目相对于一文搞懂动态规划之122. 买卖股票的最佳时机 II问题本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎是一样的。

唯一差别在于递推公式部分，所以本篇也就不按照动规五部曲详细讲解了，主要讲解一下递推公式部分。

这里重申一下dp数组的含义：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee
所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);

本题和一文搞懂动态规划之122. 买卖股票的最佳时机 II问题区别就是这里需要多一个减去手续费的操作。

以上分析完毕，C++代码如下：

方法一、 动态规划未优化代码

C++代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        vector<vector<int>>dp(prices.size(), vector<int>(2, 0));
        dp[0][0] = - prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++){
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee); 
        }
        return dp[prices.size() - 1][1];
    }
};

方法二、 动态规划优化代码

从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。
那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间，代码如下：

C++代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        vector<vector<int>>dp(2, vector<int>(2, 0));
        dp[0][0] = - prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++){
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i] - fee); 
        }
        return dp[(prices.size() - 1) % 2][1];
    }
};

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总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

这篇文章主要总结了一些动态规划解决714. 买卖股票的最佳时机含手续费问题，依然是使用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才能更清楚的理解题目！

我们已经把Leetcode上股票系列的题目都讲过了：

大家想要看之前的讲解可以按照我的序号顺序来看，这样是循序渐进的！
1.一文搞懂动态规划之121. 买卖股票的最佳时机问题
2.一文搞懂动态规划之122. 买卖股票的最佳时机 II问题
3.一文搞懂动态规划之123. 买卖股票的最佳时机 III问题
4.一文搞懂动态规划之188. 买卖股票的最佳时机 IV问题
5.一文搞懂动态规划之309. 最佳买卖股票时机含冷冻期问题

在买卖股票的最佳时机问题的整个系列题目中使用贪心算法仅仅可以解决某个具体场景的问题，但是并不通用，而动态规划思想解决买卖股票的最佳时机整个系列问题是通用连续递进的，最好掌握一下，并且最后给出了使用滚动数组优化空间复杂度的代码！