⭐算法入门⭐《队列 - 单调队列》中等03 —— LeetCode 918. 环形子数组的最大和

一、题目

1、题目描述

  给定一个由整数数组 A 表示的 环形数组 C，求 C 的非空子数组的最大可能和。
  在此处，环形数组意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。（形式上，当 $0\le i<A.length$ 时 $C[i]=A[i]$，且当 $i\ge 0$ 时 $C[i+A.length]=C[i]$）;
  此外，子数组最多只能包含固定缓冲区 A 中的每个元素一次。
  样例输入： [1,-2,3,-2]
  样例输出： 3

2、基础框架

• C语言 版本给出的基础框架代码如下：

int maxSubarraySumCircular(int* nums, int numsSize){
}

3、原题链接

LeetCode 918. 环形子数组的最大和

二、解题报告

1、思路分析

  1）如果所有的数都是负数，那么一定是找最大的那个数作为答案返回；
  2）否则，我们将原数组拷贝一份等长的数据到原数组的后面，问题就转变成了求：长度不超过 $n$ 的最大和子数组；
  3）令 $sum[i]$ 代表 $C[i]$ 的前缀和，对于一段左开右闭子数组 $(t,i]$， $sum[i]-sum[t]$ 就是这段子数组的和，其中 $-1\le t<i$，并且必须满足数组长度 $i-t\le n$。
  4）对于两个下标 $t_1<t_2$， 如果 $sum[t_1]\ge sum[t_2]$，则 $sum[t_1]$ 不会比 $sum[t_2]$ 更优，所以，我们只需要维护一个 $sum$ 值单调递增的单调队列，单调队列的队首一定是 $sum$ 值最小的，所以队首的元素作为候选 $t$ 一定是最合适的；
  5）然后只需要枚举 $i$，维护 $sum[i]$ 的单调队列，且单调队列插入的是前缀和的下标值，候选最优值 $sum[i]-sum[queuefront]$ 用于和最终最优值进行比较取大者，保证单调队列的队尾 和 队首 差值大于等于 $n$，不满足时，不断弹出队首；

2、时间复杂度

   单调队列进出是 $O(n)$，枚举下标的过程和单调队列的进出无关，也是 $O(n)$。所以，总的时间复杂度为 $O(n)$。

3、代码详解

/**************************** 顺序表 实现双端队列 ****************************/
#define DataType int
#define maxn 100005

struct Queue {
    DataType data[maxn];
    int head, tail;
};

void QueueClear(struct Queue* que) {
    que->head = que->tail = 0;
}
void QueueEnqueue(struct Queue *que, DataType dt) {
    que->data[ que->tail++ ] = dt;
}
void QueueDequeueFront(struct Queue* que) {
    ++que->head;
}
void QueueDequeueRear(struct Queue* que) {
    --que->tail;
}

DataType QueueGetFront(struct Queue* que) {
    return que->data[ que->head ];
}
DataType QueueGetRear(struct Queue* que) {
    return que->data[ que->tail - 1 ];
}
int QueueGetSize(struct Queue* que) {
    return que->tail - que->head;
}
int QueueIsEmpty(struct Queue* que) {
    return !QueueGetSize(que);
}

/**************************** 顺序表 实现双端队列 ****************************/

int sum[maxn];
struct Queue q;

int getValue(int index) {
    if(index == -1) {
        return 0;
    }
    return sum[index];
}

int maxSubarraySumCircular(int* nums, int numsSize){
    int i;
    int ans, val;
    int *a = (int *)malloc( 2 * numsSize * sizeof(int) );
    int maxv = -10000000000;

    for(i = 0; i < numsSize; ++i) {
        if(nums[i] > maxv) {
            maxv = nums[i];           
        }
    }
    if(maxv <= 0) {
        return maxv;                    // (1)
    }

    for(i = 0; i < numsSize; ++i) {
        a[i] = a[i+numsSize] = nums[i]; // (2)
    }

    for(i = 0; i < numsSize*2; ++i) {   // (3)
        sum[i] = a[i];
        if(i)
            sum[i] += sum[i-1];
    }
    QueueClear( &q );
    QueueEnqueue(&q, -1);                // (4)

    ans = -2000000000;
    for(i = 0; i < numsSize*2; ++i) {
        while(!QueueIsEmpty(&q) && getValue( QueueGetRear(&q) ) >= getValue(i)) 
            QueueDequeueRear(&q);       // (5)
        while(!QueueIsEmpty(&q) && i - QueueGetFront(&q) > numsSize)
            QueueDequeueFront(&q);      // (6)
        QueueEnqueue(&q, i);            // (7)
        val = getValue( QueueGetRear(&q) ) - getValue( QueueGetFront(&q) );
        if( val > ans )
            ans = val;
    }
    return ans;
}

• $(1)$ 如果最大值都是小于等于零的，则直接返回最大值；
• $(2)$ 拷贝一份，作为环形
• $(3)$ 计算前缀和
• $(4)$ 单调队列初始情况塞入一个 $-1$，代表了 $sum[-1]$ ，值为 0；
• $(5)$ 确保这是单调递增的队列；
• $(6)$ 控制队列长度不超过numsSize;
• $(7)$ 下标 $i$ 必然是一个可行解，需要入队;

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三、本题小知识

单调队列在执行的时候，和外层枚举是分别计算时间复杂度的，所以时间复杂度是加法关系。

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