离散数学（一）：知识结构
目录
（一）命题逻辑
1.1命题符号化及联结词
（1）命题
（2）联结词
·1 联结词⭐️⭐️
特殊说明：
·2联结词优先级
1.2命题公式及分类
（1）合式公式：
（2）命题公式层次的定义：
（3）赋值与真值表：
1️⃣赋值：
2️⃣真值表：
（4）命题公式类型：
（5）n元真值函数
1.3等值演算
（1）等值状态：
（2）等值演算：⭐️⭐️
（3）置换定理：
(4)对偶原理：
1️⃣对偶式：
2️⃣对偶原理：
1.4范式⭐️⭐️
1.5联结词全功能集
（1）全功能集：
（2）最小全功能集：
(3)定理：
（4）定理：
（5）推论：
1.6推理理论
（1）名称概念理解：
（2）定义：
（3）判断推理的方法：
等值演算法 真值表法 主析取范式法
（4）推理定律（重言蕴含式）：
(5)推理正确的证明方法：
构造证明法：
1️⃣附加前提证明法：
2️⃣归谬法：
（二）一阶逻辑
2.1一阶逻辑基本概念：
2.2一阶逻辑合式公式及解释：
（1）字母表：
（2）项的递归定义：
（3）原子公式：
（4）合式公式（谓词公式or公式）：
1️⃣定义：
2️⃣相关解释：
3️⃣组成部分：
4️⃣公式分类：
（5）闭式：
（6）换名规则：
（7）代换规则：
（8）代换实例：
2.3一阶逻辑等值式与前束范式：
（1）定义：
（2）量词否定等值式：
（3）量词辖域收缩与扩张等值式：
（4）量词分配等值式：
（5）多个量词间的次序排列等值式：
（6）前束范式：
2.4一阶逻辑推理：
（1）概念：
（2）量词分配律：
（3）全称or存在量词的消去or引入规则⭐️⭐️：
（三）集合基本概念与运算
3.1集合的基本概念：
3.2集合的基本运算：
3.3集合中元素的计数：
（四）二元关系和函数
4.1集合的笛卡尔积与二元关系：
1.有序对
（1）定义：
（2）特点：
2.有序n元组：
3.笛卡尔集
（1）定义：
（2）特点：
（3）运算性质：
4.n阶笛卡尔积：
5.二元关系
（1）定义：
（2）从A到B的二元关系：
（3）个数关系：
（4）特殊关系：
（5）常用关系：
（6）二元关系的表示方法：
4.2关系的运算：
1.关系的相关量：
2.关系的运算：
3.关系的两种相关定理：
4.关系的幂运算
（1）定义：
（2）表示方法
（3）定理：
（4）规律：
4.3关系的性质：
1.集合的性质：
4.4.关系的闭包：
（1）定义：
（2）记号：
（3）性质：
（4）求闭包的三种方法：
1️⃣公式法：
2️⃣矩阵：
3️⃣关系图：
4.5等价关系和偏序关系：
1.等价关系
（1）等价关系的定义：
（2）等价类的定义：
（3）等价类的性质：
（4）商集：
（5）划分块：
（6）划分与等价的关系：
2.偏序关系
（1）偏序的定义：
（2）偏序集：
（3）可比与盖住：
（4）全序集：
（5）哈斯图：
（6）偏序集中极小元，极大元，最小元，最大元，上界，下界，上确界，下确界：
4.5等价关系与偏序关系：
4.6函数的定义与性质：
4.7函数的复合和反函数：
（五）图的基本概念：
5.1无向图与有向图：
5.2通路，回路和图的连通性：
5.3图的矩阵表示：
5.4最短路径，关键路径和着色：
（A^B),(B∨A),(B→A),(B←→ C）
（一）命题逻辑
1.1命题符号化及联结词
（1）命题
| 名字 | 解释 | 是否为命题 |
| 命题 | 能判断真假的陈述句 | 是 |
| 简单命题or原子命题 | 不能再分（为更简单） | 是 |
| 命题常项or命题常元 | 真值确定的简单命题 | 是 |
| 命题变项or命题变元 | 真值可以改变 | 否 |
| 复合命题 | 由联结词将简单命题联结 | 是 |
（2）联结词
·1 联结词⭐️⭐️
| 联结词 | 符号 | 解释 | 1成真 | 0成假 | ||
| 1 | 否定 | ﹁ P | 非p | p0 | p1 | |
| 2 | 合取 | P ∧ Q | p并且q | p1q1 | ||
| 3 | 析取 | P ∨ Q | p或者q | p0q0 | ||
| 4 | 蕴含 | P → Q | 如果p则q | p1q0 |
||
| 5 | 等价 | P ←→ Q | p当前仅当q | pq相同 | pq不同 | |
| 6 | 与非 | p↑q | p与q的否定 | p↑q⇔¬（p∧q） | p1q1 | |
| 7 | 或非 | p↓q | p或q的否定 | p↓q⇔¬（p∨q） | p0q0 |
|
| 8 | 异或 | p∨¯q |
p q之间只有一个为1 | p∨¯q⇔（¬p∧q）∨（p∧¬q） | p1q0 或者 p0q1 |
p1q1 或者p0q0 |
特殊说明：
（3）析取：
（4）蕴含：
只有：1→0输出 为0
·2联结词优先级
括号>否定>合取>析取>蕴涵>等价
1.2命题公式及分类
（1）合式公式：
- 单个命题公式pi是合式公式
- 如果A是和式公式，则﹁A也是合式公式
- 如果P，Q是合式公式，那么P ∧ Q，P ∨ Q，P → Q，P ←→ Q也是合式公式
- 由1—3组成的字符串也是合式公式
（2）命题公式层次的定义：
| A是0层公式 | A是单个命题变项 | ||
| A是n层（n>=0) | A=﹁B | B是j层公式 | n=j+1 |
| A=B^C | B是j层公式 C是i层公式 |
n=Max（i，j）+1 | |
| A=B∨C | |||
| A=B→C | |||
| A=B←→ C | |||
（3）赋值与真值表：
1️⃣赋值：
设A是一个命题公式, P1,P2.... Pn,为出现在A中的所有命题变元,对P1.P2....Pn，各指定-一个真值,称为对A的一种指派或赋值。
若指定的一种指派使A的值为真,则称这组值为A的成真赋值（成真指派）。
若指定的一种指派使A的值为真，则称这组值为A的成假赋值（成假指派）。
含有n个命题变项的命题公式共有2^n组赋值。
2️⃣真值表：
- 找出命题公式中的所有单个命题变项。
- 从高到低写出各层次。
- 列出单个命题变项的可能赋值（从000…开始每次加1直到111…为止）。
- 单个赋值→各层次的值→命题公式的值。
（4）命题公式类型：
设A为任一命题公式
1) 若 A在它的各种赋值下取值均为真，则称A为重言式或永真式.
2) 若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式.
3) 若A至少存在一组成真赋值（即A不是矛盾式），则称A为可满足式
（5）n元真值函数
一个n（n>=1)阶笛卡尔积{0,1}^n到{0,1}的函数称为一个n元真值函数。
n元真值函数F记为F：{0,1}→{0,1}。
| 命题变项 | 可能赋值 | 真值函数 | 真值不同的命题公式 | |
| 个数： | n | 2^n |
2^(2^n) |
2^（2^n) |
1.3等值演算
（1）等值状态：
设a、b为两命题公式,若等价式a↔b是重言式,则称a与b是等值的,记作a<=>b。
判断方法：
方法一：
| a↔b真值表最后一列 | |
| 全是1 | a等值于b，记作a<=>b。 |
方法二：
a与b的真值表完全一样，则：a等值于b，记作a<=>b。
（2）等值演算：⭐️⭐️
（3）置换定理：
设$(A)是含命题公式A的命题公式，$(B)是用命题公式B置换了$(A）中的A之后得到的命题公式。
如果A等价于B，那么$(A)等价于$(B).
(用途：验证公式等值，判别命题公式类型……）
(4)对偶原理：
1️⃣对偶式：
定义：设公式A仅含联结词﹁，^，∨ ，则将^，∨ ,0,1，分别用∨ ，^，1,0替代，所得的公式A*称A的对偶式。 A与A*互为对偶式
2️⃣对偶原理：
如果A等价于B，那么A*等价于B*。
1.4范式⭐️⭐️
| 简单析取式： 仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式 p∨﹁q |
一个简单析取式是重言式，当前仅当： 它同时含有一个命题变项及其否定 |
简单合取式： 仅由有限个命题变项或其否定构成的合取式 p^﹁q |
一个简单合取式是矛盾式，当前仅当： 它同时含有一个命题变项及其否定 |
| 析取范式⭐️： 仅由有限个简单合取式构成的析取式 p∨（p^﹁q） |
析取范式的性质： 一个析取范式是矛盾式，当前仅当： 它的每一个简单合取式都是矛盾式。 |
合取范式⭐️： 仅由有限个简单析取式构成的合取式 P^（p∨﹁q） |
合取范式的性质： 一个合取范式是重言式，当前仅当： 它的每一个简单析取式都是重言式。 |
| 范式存在定理：任何一个命题公式都存在与之相等的析取范式或合取范式 | |||
| 极小项⭐️： 在简单合取式中，每个命题变项及其否定不同时存在，但两者之一必须出现且仅出现一次，这样的简单合取式叫极小项。 |
极小项的成真赋值的二进制数，所对应的十进制数作为该极小项符号的角码。 （n个命题变项产生2^n个极小项） |
极大项⭐️： 在简单析取式中，每个命题变项及其否定不同时存在，但两者之一必须出现且仅出现一次,这样的简单析取式叫极大项。 |
极大项的成假赋值的二进制数，所对应的十进制数作为该极小项符号的角码。 （n个命题变项产生2^n个极小项） |
| 主析取范式⭐️： 如果公式A的析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该吸取范式为A的主析取范式。 |
定理： 任何命题公式都有唯一的主析取范式。 |
主合取范式⭐️： 如果公式A的合取范式中的简单析取式全是极大项，则称该吸取范式为A的主合取范式。 |
定理： 任何命题公式都有唯一的主合取范式。 |
（主范式的用途：判断公式类型，判断公式等值，求成真赋值，求真值表，见：https://blog.csdn.net/m0_74161592/article/details/130447299?csdn_share_tail=%B%22type%22%3A%22blog%22%2C%22rType%22%3A%22article%22%2C%22rId%22%3A%22130447299%22%2C%22source%22%3A%22m0_74161592%22%7D）
1.5联结词全功能集
（1）全功能集：
若干个联结词的集合，其余的联结词均可由它们表示。
（2）最小全功能集：
不含冗余联结词的全功能集.
(3)定理：
{ ﹁ ，∧ },{ ﹁ ，∧ ，∨},{ ﹁ ，∨ },{ ﹁ ，→ }都是联结词全功能集。
（4）定理：
{↓ },{ ↑}都是联结词全功能集。
（5）推论：
1.6推理理论
（1）名称概念理解：
- 推理：由前提推出结论的思维过程。
- 前提：已知的命题公式。
- 结论：从前提出发应用推理规则推出命题公式。
（2）定义：
若(A1^A2^…^Ak)→B为重言式，则称前提A1,A2，…，Ak推出结论B的推理正确，B为A,^，…，A的逻辑结论或有效结论。记作：(A1^A2^…^Ak)→B
（3）判断推理的方法：
-
等值演算法
-
真值表法
-
主析取范式法
（注：推论正确不能保证结论一定正确，因为前提可能是错误的。）
（4）推理定律（重言蕴含式）：
(5)推理正确的证明方法：
构造证明法：
按照推理规则运用推理规律，证明推理正确。
该方法有些规律建立在推理定律的基础上。
1️⃣附加前提证明法：
2️⃣归谬法：
（二）一阶逻辑
2.1一阶逻辑基本概念：
使用量词时注意以下5点：
1.在不同的个体域中，命题符号化形式可能不同；
2.事先没有给个体域时，个体域为全总个体域；
3.个体词和谓词的含义确定后，n元谓词转化为命题至少需要n给量词；
4.多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序。
2.2一阶逻辑合式公式及解释：
（1）字母表：
（2）项的递归定义：
- 个体常项和个体变项是项
- 若&（x1,x2,x3…xn)是任意 n元函数， t1,t2,t3…tn是项，则&（t1,t2,t3…tn）也是项
- 只有有限次地使用（1）、（2）生成的符号串才是项
（3）原子公式：
设R(x1,x2,x3……xn） 是任意的 n(n>=1)元谓词， t1,t2,t3…tn是项，则称R(t1,t2,t3…tn）为原子公式。
（注意：上面的 R，&不是字母表里面的符号，她们分别代表任意的函数和任意的谓词）
（4）合式公式（谓词公式or公式）：
1️⃣定义：
- 原子公式是合式公式；
- 若A是合式公式，则(-A)也是合式公式；
- 若4,B是合式公式，则（A^B),(B∨A),(B→A),(B←→ C)也是合式公式；
- 若A是合式公式，则：
，
也是合式公式； - 只有有限次地应用(1）-（4)构成的符号串才是合式公式（也称谓词公式），简称公式。
2️⃣相关解释：
对公式中各种变项（个体变项，函数变项， 谓词变项），用指定特殊的常项去代替（即：赋值），就构成了公式的一个解释。
- 非空个体域D；
- D中一部分特定元素；
- D上一些特定的函数：
- D上一些特定的谓词；
3️⃣组成部分：
- 在辖域A中x的所有出现称为约束出现（即x受相应量词指导变项的约束）。
- 辖域A中不是约束出现的其他变项的出现称为自由出现。
4️⃣公式分类：
- 在A任何解释和该解释下的任何赋值下都为真，则称A为逻辑有效式（或称永真式）
- 在A任何解释和该解释下的任何赋值下都为假，则称A为矛盾式（或称永假式）
- 若至少存在一个解释和该解释下的一个赋值使A为真，则称A是可满足式。
（5）闭式：
若公式A中无自由出现的个体变项，则称A是封闭的合式公式，简称：闭式。
（6）换名规则：
将一个指导变项及其在辖域中所有约束出现替换成公式中没有出现的个体变项符号。
即：约束变项的换名。
（7）代换规则：
自由变项的换名。
（8）代换实例：
设A0是含n个命题变项p1,p2,p3……pn的命题公式，将n个谓词A1,A2……An,取代 p1,p2,p3……pn所得的谓词公式称为A的代换实例。
2.3一阶逻辑等值式与前束范式：
（1）定义：
若A←→B为逻辑有效式，记A↔️B
（2）量词否定等值式：
（3）量词辖域收缩与扩张等值式：
在量词辖域收缩or扩张的等值式中：⭐️⭐️
- 析取，合取，后件➡️量词不变
- 前件➡️量词改变
（4）量词分配等值式：
“所有"对“合取”，”存在“对”析取“。⭐️
（5）多个量词间的次序排列等值式：
相同量词顺序可调换，量词不同时不可随意调换位置。
（6）前束范式：
设A为一谓词公式，如果A具有如下形式：Q1x1 Q2x2 Q3x3……Qkxk B,则称A是前束范式，
其中Q i（1<=i<=k)为
或者
，B为不含量词的谓词公式。
2.4一阶逻辑推理：
（1）概念：
（2）量词分配律：
（3）全称or存在量词的消去or引入规则⭐️⭐️：
| 全称量词 | 存在量词 | |
| 消去规则 |
要求： 1.x是A(x)中自由出现的个体变项， 2.y为任意的不在A(×)中约束出现的个体变项, 3.c为任意的个体常项。 |
要求： 1.c是使A为真的特定的个体常项， 3.A(×)中除x外还有其他自由出现的个体变项时，不能用此规则。 |
| 引入规则 | A(y)➡️ 要求： 1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真， |
A(c)➡️ 要求： 1.c是特定的个体常项， |
（三）集合基本概念与运算
3.1集合的基本概念：
（1）集合定义以及表示方法：
集合的定义：一些离散个体组成的全体，组成集合的个体称为它的元素或成员。
集合的表示：
1️⃣列元素法 A = { a, b, c, d }
2️⃣谓词表示法 B = { x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成
（2）集合与元素的关系：
属于
，不属于
注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合)，
xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.
（3）集合间关系：
1️⃣常见集合关系：
2️⃣特殊集合：
3️⃣n元集：
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m个（m<=n）元素的子集称为它的m元子集。
⭐️⭐️
3.2集合的基本运算：
(1) 集合的运算：⭐️⭐️
（2）集合运算律：
（3）集合运算性质的重要结论：
3.3集合中元素的计数：
（四）二元关系和函数
4.1集合的笛卡尔积与二元关系：
1.有序对
（1）定义：
由两个元素x和y（允许x=y）按照一定的顺序排列成的二元组称作一个有序对（也称序偶）
顺序性
记作：
其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。
（2）特点：
- 当x！=y时，
- 两个有序对相等的充分必要条件：
2.有序n元组：
有序n元组(n>=3)，记(x1,x2,x3……xn）
3.笛卡尔集
（1）定义：
集合A和B的笛卡儿积，记作AXB。
（2）特点：
（1)若A是m元集，B是n元集，则AXB为mn元集。
(2）笛卡儿积是有序对的集合;有序对是笛卡尔积的元素。
（3）运算性质：
3️⃣笛卡尔积不适合交换律与结合律
4.n阶笛卡尔积：
5.二元关系
描述：集合中两个元素之间的某种相关性。
（1）定义：
（2）从A到B的二元关系：
设A，B为集合，A✖️B的任何子集所定义的二元关系称作：从A到B的二元关系。
当：A=B时，称作A上的二元关系。
（3）个数关系：
（4）特殊关系：
（5）常用关系：
（6）二元关系的表示方法：
集合表达式，关系矩阵，关系图
关系矩阵：
关系图：
4.2关系的运算：
1.关系的相关量：
2.关系的运算：
3.关系的两种相关定理：
（1）
（2）
4.关系的幂运算
（1）定义：
（2）表示方法：
（3）定理：
（4）规律：
4.3关系的性质：
1.集合的性质：
4.4.关系的闭包
（1）定义：
设R是非空集合A上的关系，R的自反闭包（对称闭包，传递闭包）是A上的关系R'
且满足：
1️⃣R是自反的（对称的，传递的）
2️⃣
3️⃣对A上的任何包含R的自反关系(对称关系，传递关系)R"，都有R' 
R"。
（2）记号：
- r(R)——R的自反闭包reflexive
- s(R)——R的对称闭包symmetric
- t(R)—R的传递闭包transitive
（3）性质：
1️⃣R是自反的 等价于 r(R)=R，
2️⃣R是对称的 等价于 S(R)=R.
3️⃣R是传递的 等价于 ((R)=R。
（4）求闭包的三种方法：
1️⃣公式法：
2️⃣矩阵：
3️⃣关系图：
- r（R）➡️ 在没有环的结点上加上环
- s（R）➡️ 单向边 全部改为 双向边
- t（R）➡️ 设结点数为n，对于每个结点x，从x出发不超过n的所有路径的终点t找到：如果没有x到t的边就加上边（x可以等于t）。
4.5等价关系和偏序关系：
1.等价关系
（1）等价关系的定义：
若A上关系R满足自反的，对称的，传递的则称R为A上的等价关系。
对
，如果
(等价关系R）则记作x～y
（2）等价类的定义：
设R是非空集合A上的等价关系，对
，令：
={y|
^xRy}
为x关于R的等价类。简记x的等价类，记[x].
（3）等价类的性质：
（4）商集：
设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类为元素的集合 叫做A在R下的商集，记作A/R，
即A/R={ | x
}
（5）划分块：
A是非空集合，A,A，……，A,是它的非空子集，
满足：
1️⃣
2️⃣
空集（i！=j）
3️⃣A1UA2U…….UAm=A
则称&=｜A1,A2，…，Am|为A的一个划分，而A1，A2，…，Am称为这个划分的块。
（6）划分与等价的关系：
1️⃣集合A的一个划分确定A的一个等价关系。
A上的一个划分pi把A分成若干划分块， 若定义同一块中的元素有关系R，
可以证明R是A上的一个等价关系， 称为划分元诱导的等价关系， 则这个划分的块就是等价关系的等价类，划分就是商集.
2️⃣A上的一个等价关系可确定A的一个划分。 若R为A上的等价关系，则所有等价类的集合，即商集A/R，就是A的一个划分，称为由R诱导的划分。
2.偏序关系
（1）偏序的定义：
若A上关系R满足自反，反对称，传递， 则称R为A上的偏序关系，简称偏序，记作 "
" 。
（2）偏序集：
集合A与A上的偏序关系R一起叫做偏序集，记作
（3）可比与盖住：
设(A,〉为偏序集，x,yA,
若x。y或y。x成立， 则称x,y是可比的，
若x
（4）全序集：
设
,×和y都可比，则称。为A上的全序关系，且称
（5）哈斯图：
1️⃣A中的每个元素用结点表示，若x。y，结点x排在y结点的下方。
2️⃣若y盖佳X，则在X，y之间连一条线。
（6）偏序集中极小元，极大元，最小元，最大元，上界，下界，上确界，下确界：
4.6函数的定义与性质：
4.7函数的复合和反函数：
（1）复合函数的定义：
（2）复合函数的性质：
（3）反函数：
（五）图的基本概念：
5.1无向图与有向图：
1.基本概念：
（1）多重集：允许元素重复出现
（2）无须积：
设A，B的集合，{{a,b}|aA^bB}，
将A、B的无序积，记作A&B:将无序对,记作（a,b)
显然有：（a,b)=(b,a)
2.无向图与有向图：
| 是一个二元组，其中有： | 该有穷非空集合称为 D/G的定点集，V中元素称为定点或结点 | |||
| 无向图G | （a，b） | V（G） | ||
| 有向图D | V（D） |