[数据结构]长文带你玩转二叉树，期末考试必看篇

目录

 

树的相关概念和结构

 概念

树如何去表示？

树与非树

二叉树

概念

特殊的二叉树

二叉树性质

性质 

例题

二叉树存储形式

顺序存储

链式存储

链式遍历

前序遍历（先根遍历）

中序遍历（中根遍历）

后序遍历

求节点数和各种变形

 

二叉树oj题练习

题1 二叉树前序遍历

题2.二叉树的深度

题3.平衡二叉树

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树的相关概念和结构

 概念

树是一种非线性的结构，根朝上，而叶朝下，是一棵倒挂的树。

来认识些简单的概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数。（通俗的讲就是有多少个子节点）。 例如5号的度为2

树的度：最大的节点的度才是树的度。

叶节点/终端节点：度为0的节点。1，4，6，8都是叶节点。

双亲节点/父节点：若这个节点含有子节点，则这个节点为其子节点的父节点。

子节点/孩子节点：例如，5是2，7的父节点，2是5的子节点。

兄弟节点：具备相同父节点的才是兄弟节点。例如2，7就是兄弟节点，但1，6就不是，因为其不具备相同父节点。

节点的层次：从根开始，根为1开始（有些资料认为是从0开始，但不建议，因为这样的话空树的高度就是-1）

树的高度或深度：树中节点的最大层次。例如上图为3

节点的祖先：从根到该节点所经分支的所有节点。5是所有节点的祖先。

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为改节点子孙。所有节点都是5的子孙。

森林：由多棵互不相交的树的集合称为森林。

树如何去表示？

不管怎样还是会用到结构体的，但是有一个很明显的问题，你怎么知道他有多少个孩子呢？定义多了有些节点用不上，定义少了不够用。

在c++里可以采取类似于这样的方法去实现。

vectorchilds

亦或者“左孩子右兄弟”的表示方法。

不管一个节点多少孩子，都只存两个指针，一个叫左孩子，一个叫右兄弟。

（图源百度百科）

总之就是只指向左边第一个孩子，再用孩子的兄弟指针去指向右边的兄弟。

还有双亲表示法等等。都仅作了解。

树与非树

树的子树是不相交的。

除了根节点，每个节点只有一个父节点。

一棵n个节点的树有n-1条边。

二叉树

概念

不存在超过度大于2的节点。

二叉树的子树具备左右的分别，且子树的次序是不可颠倒的。

特殊的二叉树

 满二叉树：每一层的节点都达到最大值。也就是这个而二叉树的层数为k，则节点总数为（2^k)-1，可以用数学知识去进行推导。

上图就是一个满二叉树。

完全二叉树：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树是一种效率很高的数据结构，当且仅当每一个节点都与满二叉树中编号1-n的节点一一对应。

 

若树高度为h，那么前h-1层必须是满的，且最后一层可以不满但从左到右必须连续（也就是h-1的子节点有右子树就有左子树）。

二叉树性质

性质 

 规定根节点层数为1，则非空二叉树第i层最多2^(i-1)个节点。

 

 规定根节点层数为1，则深度为h的二叉树最大节点数为2^h-1 。

分析：假设深度为h，则总节点个数为2^0+2^1+2^3·······2^(h-1)=N

那么2^h-1=N

 

对于任意一棵二叉树，如果度为0的叶节点个数为n0，度为2的有n2，则n0=n2+1

 

若规定根节点层数为1，具有n个节点的满二叉树的深度，h=log2n（2为底）+1

 

例题

题1.某二叉树399个节点，有199个度为2的节点，求叶子节点的个数。

199+1=200，则度为0的节点有200个。

题2.在具有2n个节点的完全二叉树中，求叶子节点个数。

设度为0有a0个，度1有a1个，度2有a2个。

则a0+a1+a2=2n，a0=a2+1

即得到2a0+a1=2n-1，又因为是完全二叉树，所以度为1的点最多只有一个。

即2a0+1（或者0）-1=2n，但为0的话会得到小数，所以度为1的点有1个。

题3.一棵完全二叉树节点位数为531个，求树的高度。

设高度为h，且最后一层缺x个，则有2^h-1-x=531，又因为是完全二叉树，则x范围为[0,2^(h-1)-1]

（至少要剩一个，或者全缺），然后就只有拿值去套了。所以对2的各种次方一定要敏感。

可以得到h=10即可。

（用到遍历知识）

题4.某二叉树按层次输出（同一层从左到右）序列为abcdefgh，求该完全二叉树的前序序列。

因为是完全二叉树，则a在第一层，bc在第二层，defg在第三层，h在第四层第一个的位置。

所以把图画出来就可以得到abdhecfg是前序排列。

题5.二叉树先序为efhigjk 中序为hfiejkg，求后序。

因为前序先走根，所以可以得到e为根节点。但f就不确定是左还是右了。

但这里还给出了后序，因为e为根节点，所以可以确定hfi是左子树，jkg是右子树。

再结合前序，可以得到f是左子树的根了。依次类推得到

且这种题必须要有中序，只有中序可以确定左右子树有哪些。

 

二叉树存储形式

顺序存储

使用数组来存储，一般来讲呢，数组只适合于表示完全二叉树。因为在现实中只有在使用堆时才会用到数组来存储，所以在这里就不再过多的展开了。

链式存储

 常采用定义两个指针，分别指向左子树和右子树。

也有三个指针的写法。还有一个parent指针。

typedef struct treenode
{
	struct treenode* left;
	struct treenode* right;
	char data;
}tn;

 

链式遍历

当研究一棵二叉树时，都应该有意识地认为他是由三个部分去构成的。

分别是左子树，右子树还有根节点。

例如上图，根节点为a时，那么bde构成左子树，cfg构成右子树。

当看b时，d为左子树，e为右子树，c也是同理。

那么为何要这样去分的这么细呢？因为等会会用到分治算法。

分治算法的思想是：分而治之，将大问题分成类似的子问题，子问题再接着往下分。直到子问题不可分割。

去求深度高度啥的会用到遍历。而且遍历我们分成三种。

前序遍历（先根遍历）

如其名，先访问根，再访问左子树，再访问右子树。

还是如上图，先访问a，a的左子树为b，右子树为c，先访问左子树，所以先访问b，再去访问b的左子树d，d仍然可以接着往下访问，但为空，则d的左右子树都为NULL，接着是b的右子树，e。

e如d其子树为空。

此时b访问完成，接着可以访问a的右子树。

所以大概这一圈走下来就是a  b  d  null  null  e  null  null  c  f  null  null  g  null  null

用代码来测试一下。

结构体定义左右节点和data。遍历我们采取递归的形式。

typedef struct treenode
{
	struct treenode* left;
	struct treenode* right;
	char data;
}tn;
//前序
void prevorder(tn* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	prevorder(root->left);
	prevorder(root->right);
}
int main()
{
	tn* a = (tn*)malloc(sizeof(tn));
	a->data = 'a';
	a->left = NULL;
	a->right = NULL;
	tn* b = (tn*)malloc(sizeof(tn));
	b->data = 'b';
	b->left = NULL;
	b->right = NULL;
	tn* c = (tn*)malloc(sizeof(tn));
	c->data = 'c';
	c->left = NULL;
	c->right = NULL;
	tn* d = (tn*)malloc(sizeof(tn));
	d->data = 'd';
	d->left = NULL;
	d->right = NULL;
	tn* e = (tn*)malloc(sizeof(tn));
	e->data = 'e';
	e->left = NULL;
	e->right = NULL;
	tn* f = (tn*)malloc(sizeof(tn));
	f->data = 'f';
	f->left = NULL;
	f->right = NULL;
	tn* g = (tn*)malloc(sizeof(tn));
    g->data = 'g';
	g->left = NULL;
	g->right = NULL;
	a->left = b;
	a->right = c;
	b->left = d;
	b->right = e;
	c->left = f;
	c->right = g;
	prevorder(a);


}

结果

 

中序遍历（中根遍历）

先左子树，再是根，再是右子树。

null  d  null  b null e null a null f null c null g null 

代码如下，和前序如出一辙

//中序
void inorder(tn* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	inorder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	inorder(root->right);

}

后序遍历

先左子树，再右子树，最后根。

null null d null null e b null null f null null g c a

void postorder(tn* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	postorder(root->left);
	postorder(root->right);
	printf("%c ", root->data);

}

求节点数和各种变形

做法1：仍然采取递归的做法。但是请定义一个全局的size变量。否则size无法进行计数。

//求节点个数
int size = 0;
int treesize(tn* root)
{
	if (root == NULL)
		return ;
	size++;
	treesize(root->left);
	treesize(root->right);
	return size;
}

但使用全局变量会出现问题。当你第二次使用此函数时，size未清零。所以注意在每次调用前需要置为0即可。

但我仍旧不推荐这样去写，比如在多线程中进行处理，就极易出现问题。

那怎么处理这个问题比较好呢？可以考虑传参。

但不能传值，因为在不断的调用中调用的都是拷贝。所以可以传址，也就是指针。

//求节点个数
int size = 0;
void treesize(tn* root,int*psize)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	++(*psize);
	treesize(root->left,psize);
	treesize(root->right,psize);
}

但还有其他的思考，比如分治思想。

从根开始往下走，不断的进行分治。这样的代码就非常的简洁了。

int treesize2(tn* root)
{
	return root == NULL ? 0 : treesize2(root->left) + treesize2(root->right) + 1;
}

那么参照分治算法，试着写一下如何去求叶子节点的个数吧。

如果此节点为空，则返回0，是叶子节点，就返回1，不是空又不是叶子节点，那就代表可以接着向下进行遍历。

//求叶子节点个数
int treeleafsize(tn* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}
	return treeleafsize(root->left) + treeleafsize(root->right);
}

 

二叉树oj题练习

几道经典的力扣题目，可以更好的去理解在二叉树中递归的使用。 

题1 二叉树前序遍历

链接：https://leetcode.cn/problems/binary-tree-preorder-traversal

给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 前序 遍历。

 

示例 1：

输入：root = [1,null,2,3]
输出：[1,2,3]
示例 2：

输入：root = []
输出：[]
示例 3：

输入：root = [1]
输出：[1]
示例 4：

输入：root = [1,2]
输出：[1,2]
示例 5：

输入：root = [1,null,2]
输出：[1,2]
 

提示：

树中节点数目在范围 [0, 100] 内
-100 <= Node.val <= 100

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     struct TreeNode *left;
 *     struct TreeNode *right;
 * };
 */


/**
 * Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
 */
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize){

}

由题可知，返回类型是数组，所以需要malloc一个数组。和前面讲的差不多，只需要将打印换成将值放到数组里去即可。

同时，不知道数组要放多少个，所以直接用求节点的方法返回一个size即可。

int treesize(struct TreeNode* root)
 {
     return root==NULL?0:treesize(root->left)+treesize(root->right)+1;
 }
 void prevorder(struct TreeNode* root,int*a ,int *p)
 {
     if(root==NULL)
     return ;
     a[*p]=root->val;
     (*p)++;
     prevorder(root->left,a,p);
     prevorder(root->right,a,p);
 }
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize){
    int size=treesize(root);
    int*a =(int*)malloc(size*sizeof(int));
     int i=0;
     int* p=&i;
     prevorder(root,a,p);
     *returnSize=size;
     return a;
}

记得传进来的数组a和i传参传的是地址哦。否则只是一层拷贝，在调用中切记不要犯这种错误。

不要乱用全局变量来简单处理，可能会导致越界。更何况在多线程的处理中会出现问题，之前也提到过。

 

题2.二叉树的深度

输入一棵二叉树的根节点，求该树的深度。从根节点到叶节点依次经过的节点（含根、叶节点）形成树的一条路径，最长路径的长度为树的深度。

例如：

给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7
返回它的最大深度 3 。

 

提示：

节点总数 <= 10000

分析：采用分治的思想。分为左右子树分别求，取大的深度进行返回。

最简单容易想到的就是如下代码

int maxDepth(struct TreeNode* root){
  if(root==NULL)
  return 0;
  return maxDepth(root->left)>maxDepth(root->right)?maxDepth(root->left)+1:maxDepth(root->right)+1;
}

但是在力扣中会给出一个非常巨大的树，导致超出时间限制。

可以将计算的值进行一个存储，减少计算时间。

int maxDepth(struct TreeNode* root){
  if(root==NULL)
  return 0;
  int leftdepth=maxDepth(root->left);
  int rightdepth=maxDepth(root->right);
  return leftdepth>rightdepth?leftdepth+1:rightdepth+1;
}

 

题3.平衡二叉树

链接：https://leetcode.cn/problems/ping-heng-er-cha-shu-lcof

输入一棵二叉树的根节点，判断该树是不是平衡二叉树。如果某二叉树中任意节点的左右子树的深度相差不超过1，那么它就是一棵平衡二叉树。

 

示例 1:

给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7
返回 true 。

示例 2:

给定二叉树 [1,2,2,3,3,null,null,4,4]

       1
      / \
     2   2
    / \
   3   3
  / \
 4   4
返回 false 。

 

限制：

0 <= 树的结点个数 <= 10000

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     struct TreeNode *left;
 *     struct TreeNode *right;
 * };
 */


bool isBalanced(struct TreeNode* root){

}

分析：和上面那道题思路是类似的。去检查每棵树是否满足。只有满足了才去检查其左树和右树。

直到不可分割的子问题。

int maxDepth(struct TreeNode* root){
  if(root==NULL)
  return 0;
  int leftdepth=maxDepth(root->left);
  int rightdepth=maxDepth(root->right);
  return leftdepth>rightdepth?leftdepth+1:rightdepth+1;
}
bool isBalanced(struct TreeNode* root){
if(root==NULL)
return true;
int leftdepth=maxDepth(root->left);
int rightdepth=maxDepth(root->right);
return abs(leftdepth-rightdepth)<2&&isBalanced(root->left)&&isBalanced(root->right);
}

 

大概应付学校的期末考试如上就差不多了。就算超过也一般不会超过太多。

祝期末考试顺利。