Leetcode-862. 和至少为 K 的最短子数组

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/shortest-subarray-with-sum-at-least-k/

题目

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，找出 nums 中和至少为 k 的 最短非空子数组 ，并返回该子数组的长度。如果不存在这样的 子数组 ，返回 -1 。子数组是数组中连续的一部分。

示例 1：
输入：nums = [1], k = 1
输出：1

示例 2：
输入：nums = [1,2], k = 4
输出：-1

示例 3：
输入：nums = [2,-1,2], k = 3
输出：3

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• -105 <= nums[i] <= 105
• 1 <= k <= 109

分析

我们用数组 P 表示数组 A 的前缀和，即 P[i] = A[0] + A[1] + ... + A[i - 1]。我们需要找到 x 和 y，使得 P[y] - P[x] >= K 且 y - x 最小。

我们用 opt(y) 表示对于固定的 y，最大的满足 P[x] <= P[y] - K 的 x，这样所有 y - opt(y) 中的最小值即为答案。我们可以发现两条性质：

• 性质1：如果 x1 < x2 且 P[x2] <= P[x1]，那么 opt(y) 的值不可能为 x1，这是因为 x2 比 x1 大，并且如果 x1 满足了 P[x1] <= P[y] - K，那么 P[x2] <= P[x1] <= P[y] - K，即 x2 同样满足 P[x2] <= P[y] - K。
• 性质2：如果 opt(y1) 的值为 x，那么我们以后就不用再考虑 x 了。这是因为如果有 y2 > y1 且 opt(y2) 的值也为 x，但此时 y2 - x 显然大于 y1 - x，不会作为所有 y - opt(y) 中的最小值。

算法

我们维护一个关于前缀和数组 P 的单调队列，它是一个双端队列（deque），其中存放了下标 x：x0, x1, ... 满足 P[x0], P[x1], ... 单调递增。这是为了满足性质一。

当我们遇到了一个新的下标 y 时，我们会在队尾移除若干元素，直到 P[x0], P[x1], ..., P[y] 单调递增。这同样是为了满足性质一。（对应下面代码中第一个while）

同时，我们会在队首也移除若干元素，如果 P[y] >= P[x0] + K，则将队首元素移除，直到该不等式不满足。这是为了满足性质二。（对应下面代码中第二个while）

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N)，其中 N 是数组 A 的长度。

• 空间复杂度：O(N)。

碎碎念

这道题目是字节跳动2022年1月15日的实习面试题目，当时使用的是两重for循环，加一些剪枝，也就是一个一个比较，最后时间超时了，只通过了70%的样例，呜呜呜。此道题目的关键是存在负值，所以需要格外注意。

由于我之前没有接触过滑动窗口，或者很久很久没有刷题的缘故，已经忘记了，对于上述的思想理解了好久，看了这篇文章滑动窗口算法基本原理与实践 - huansky - 博客园的解释，发现就是一个常规的滑动窗口题目，利用滑动窗口可以将嵌套的双重循环变为单循环问题。

这是一个非固定的滑动窗口问题，因此需要双指针来控制，这里使用了双端队列deque。

C++代码

class Solution {
public:
    int shortestSubarray(vector<int>& nums, int k) {
    	vector<long long> P(nums.size()+1,0);
    	//计算前缀和
		P[0]=0; 
		for(int i=0;isize();i++){
			P[i+1]=P[i]+nums[i];
           // cout<
		}
		//双端队列容器,Q是一个递增的序列 
		deque<int> Q;
		int ans=nums.size()+1;//N+1是不可能的 
		for(int i=0;isize()+1;i++){
			//移除队尾元素 
			while(!Q.empty()&&P[i]<=P[Q.back()]){
				Q.pop_back();
			}
			//移除队首元素
			while(!Q.empty()&&P[i]>=P[Q.front()]+k){
				ans = min(ans,i-Q.front()); 
				Q.pop_front();
			} 
			Q.push_back(i);
		}
		return  anssize()+1?ans:-1; 
    }
};

附录

思路来源：

https://leetcode-cn.com/problems/shortest-subarray-with-sum-at-least-k/solution/he-zhi-shao-wei-k-de-zui-duan-zi-shu-zu-by-leetcod/