力扣第131题 分割回文串 c++ 回溯+简单 动态规划（是否为回文子串）

题目

131. 分割回文串

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字符串   动态规划   回溯

给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是 回文串 。返回 s 所有可能的分割方案。

回文串 是正着读和反着读都一样的字符串。

示例 1：

输入：s = "aab"
输出：[["a","a","b"],["aa","b"]]

示例 2：

输入：s = "a"
输出：[["a"]]

提示：

• 1 <= s.length <= 16
• s 仅由小写英文字母组成

思路和解题方法一 回溯+判断

1. ans 是一个二维向量，用于存储最终的结果。每个元素都是一个符合要求的回文字符串组合。

2. path 是一个一维向量，用于存储当前的路径。它表示已经找到的符合要求的回文子串。

3. backtrackint 是回溯函数，用于搜索并构建符合要求的回文字符串组合。它接收两个参数：字符串 s 和当前的索引 index。

4. 在 backtrackint 中，首先判断是否遍历到字符串末尾。如果是，将当前路径添加到结果 ans 中，并返回。

5. 然后，从当前位置 index 开始，通过一个循环遍历字符串。变量 i 表示循环的当前位置。

6. 在循环中，通过调用 ifhuimen 函数判断从当前位置 index 到 i 是否是回文子串。如果是回文子串，则将该子串加入当前路径 path 中。

7. 然后，递归调用 backtrackint 函数，传入新的起始位置 i + 1 ，继续处理剩余的部分。

8. 在递归之后，需要进行回溯操作，即将当前路径 path 的最后一个元素移除，以便继续寻找其他可能的回文子串组合。

9. 最后，调用 partition 函数，通过回溯函数 backtrackint 来搜索所有符合要求的回文字符串组合，并返回结果向量 ans。

复杂度

        时间复杂度:

                O(2^n * n)

时间复杂度

• 对于长度为 n 的字符串，最坏情况下可能有 2^(n-1) 种不同的回文子串组合。
• 在回溯过程中，我们需要遍历所有可能的组合，每个组合都需要进行 O(n) 的操作来判断是否是回文子串。
• 因此，回溯算法的时间复杂度为 O(2^n * n)。

        空间复杂度

                O(n^2)

空间复杂度：

• 回溯算法消耗了大量的递归栈空间，最坏情况下需要 O(n) 的空间。
• 另外，还需要额外的空间来储存存储中间结果的二维向量 ans 和存储当前路径的一维向量 path，因此空间复杂度为 O(n^2)。

c++ 代码一

class Solution {
public:
    vector> ans; // 存储结果的二维向量
    vector path; // 存储当前路径的一维向量
    
    void backtrackint(string &s, int index) {
        if (index >= s.size()) { // 如果遍历到字符串末尾，将当前路径添加到结果中
            ans.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = index; i < s.size(); i++) { // 遍历字符串，从当前位置开始
            if (ifhuimen(s, index, i)) { // 判断从当前位置到 i 是否是回文子串
                string str = s.substr(index, i - index + 1); // 获取回文子串
                path.push_back(str); // 将回文子串加入当前路径
            } else {
                continue; // 如果不是回文子串，跳过当前位置
            }
            backtrackint(s, i + 1); // 递归处理剩余部分
            path.pop_back(); // 回溯，将当前路径的最后一个元素移除
        }
    }

    bool ifhuimen(string &s, int start, int end) {
        for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--) {
            if (s[i] != s[j]) {
                return false; // 判断是否为回文子串
            }
        }
        return true;
    }

    vector> partition(string s) {
        ans.clear(); // 清空结果向量
        path.clear(); // 清空路径向量
        backtrackint(s, 0); // 回溯搜索所有回文子串的组合
        return ans; // 返回结果向量
    }
};

思路和解题方法二 回溯+动态规划

1. 首先，定义了私有变量 result、path 和 isPalindrome。result 是最终的分割结果，path 是存储已经回文的子串，isPalindrome 存储事先计算好的是否回文子串的结果。

2. 在 backtracking 函数中进行回溯操作。如果起始位置 startIndex 大于等于字符串 s 的大小，说明已经找到了一组分割方案，将当前的路径 path 加入到结果集 result 中，并返回。

3. 接下来，从 startIndex 开始循环遍历字符串 s。如果从 startIndex 到当前位置 i 的子串是回文子串（根据事先计算好的 isPalindrome 布尔矩阵判断），则将该子串加入到路径 path 中，并递归地在其后面的位置继续寻找回文子串。

4. 在回溯过程中，如果发现当前位置 i 到 startIndex 的子串不是回文子串，直接跳过。如果是回文子串，继续调用 backtracking 函数，并将 i + 1 作为新的起始位置，寻找下一个回文子串。

5. 在每一次递归返回之前，需要将当前已经添加到路径 path 中的子串弹出，以便进行下一次回溯。

6. computePalindrome 函数用于计算字符串 s 中的回文子串。它通过动态规划的思想，从后向前依次计算字符串中的回文子串。具体做法是，首先遍历字符串中的每个字符，将单个字符视为回文子串；然后，对于长度为2的子串，如果两个字符相等，则它们是回文子串；最后，对于长度大于2的子串，如果首尾字符相等，并且去除首尾后的子串仍然是回文子串，那么它们也是回文子串。

7. partition 函数是整个程序的入口。在开始分割之前，首先清空结果集 result 和路径 path。然后调用 computePalindrome 函数计算回文子串，并调用 backtracking 函数进行回溯查找分割方案。

8. 最后，返回结果集 result，即可得到所有的分割方案。

复杂度 和上面一样

        时间复杂度:

                O(2^n * n)

        空间复杂度

                O(n^2)

c++ 代码二

class Solution {
private:
    vector> result;               // 存储最终的分割结果
    vector path;                         // 存储已经回文的子串
    vector> isPalindrome;           // 存储事先计算好的是否回文子串的结果

    void backtracking(const string& s, int startIndex) {
        // 如果起始位置已经大于s的大小，说明已经找到了一组分割方案了
        if (startIndex >= s.size()) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
            if (isPalindrome[startIndex][i]) {    // 是回文子串
                // 获取[startIndex,i]在s中的子串
                string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
                path.push_back(str);
            } else {                                // 不是回文，跳过
                continue;
            }
            backtracking(s, i + 1);                 // 寻找i+1为起始位置的子串
            path.pop_back();                        // 回溯过程，弹出本次已经添加的子串
        }
    }

    void computePalindrome(const string& s) {
        // isPalindrome[i][j] 代表 s[i:j](双边包括)是否是回文字串 
        isPalindrome.resize(s.size(), vector(s.size(), false));  // 根据字符串s，刷新布尔矩阵的大小

        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { 
            // 需要倒序计算，保证在i行时，i+1行已经计算好了
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (j == i) {
                    isPalindrome[i][j] = true;
                } else if (j - i == 1) {
                    isPalindrome[i][j] = (s[i] == s[j]);
                } else {
                    isPalindrome[i][j] = (s[i] == s[j] && isPalindrome[i + 1][j - 1]);
                }
            }
        }
    }

public:
    vector> partition(string s) {
        result.clear();
        path.clear();
        computePalindrome(s);        // 计算是否回文子串
        backtracking(s, 0);          // 回溯得到分割结果
        return result;
    }
};

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