《作为教育的任务》阅读笔记（三）

      通过几天的阅读，啃完第二章“今日的数学”，很生涩。知道了一些数学家的名字，如“布尔巴斯、帕施、希尔伯特等，许多话语、举例都似懂非懂，有时根本就看不明白，结合第一章”传统的数学“弗赖登塔尔像是给我们介绍数学的发展史，尽管我并不是很具有思考力，但我还是尽量把自己能理解的记录下来。

        在数学里，许多世代前天、今天、明天会同时存在，那么今日道底从何说起呢？许多数学家认为由布尔巴基开始，但另一种说法是从1870年，以实数的近代理论和若当的《置换论》这部最早的群论著作为标注，像线性代数、抽象代数、微积分等这类课程大约是在1935年左右大学里开始开设，大致在1955年大学里普及。大学里数学系与物理系一年级新生，所需要的数学基础知识在内容上都不是新的，只是新在表达方式上。如我们今天读上个世纪初的数学文献可能就像读古文让人难懂，这种形式化的新倾向也许只是个开始，方式的改变一至在继续。在书中弗赖登塔尔指出了几种形式的方式改变。(变量、函数、语法结构的前后不连贯、会吠的就是狗、形式化的工作等）。如在变量方面，有这样的基本事实，给出的命题就必须对命题形式中的变量加以约束，还存在量词和普通性量词的区别，应该经常明确的说明自己指的是哪一种。数学只有在长时间的实践后才能建立一种模式化的清晰表述方式，思维模式在教学法方面是很有价值的。现在的样式不只是要求把逻辑模式外显，而且要求直接使用，符号化了。由此我想到中学的一些几何证明题。要用符号模式化的表述因为什么，又因为什么，所以什么。 数学语言的完善化是一个连续的过程，在用日常语言表达数学事实时，就必须改造它，使之适应数学的需要，这种改造的过程还需要不断地继续探索。自觉地掌握语言把它作为准确表达的工具，这就是形式化，也是组织现代数学的方法之一。现代数学的一个特点就是数学表达的再创造和形式化的活动。例如，许多人说康托最伟大贡献是他发明了“集合”这个术语。而“集合”一词是却是后来的创造，当初康托是把它当做“簇”。而作为最重要的东西介绍给我们普通人的并不是“集合”这个词，而恰恰是集合论的其他特点给了数学与深远的影响。
      用外延的方法说明概念，即借用此概念所包含的东西全体来说明概念，这是现代数学构造概念的一个枢纽。用外延来描述概念称为外延式定义，用外延式定义描述概念是由康托的集合论开始的，1870年前后是集合论的开始。也是现代公理化的开始，这自然也发生在几何学中。帕施是第一个创造了欧氏几何的公理系人，她教数学家们如何建造公理系。但很快就被希尔伯特卓越的著作《几何基础》所掩盖，之后，公理和公理化成为新的概念，“公理”就意味着一类命题它既不能证明，也不需要证明，它是任何证明的基础和前提。希尔伯特通过他的“几何基础”把现在“公理”与“公理化”的使用神圣化。而公理系如何产生？群概念的历史提供了极好说明，1870年前后，群的概念形成了，那时不但有了一大堆群，而且对群的研究也积累了丰富的经验。群论作为一种组织手段运营而生，它是把所有的群都具有的关键性质明显的叙述出来这种办法去组织那一堆具体的结果。利用一些公设来规定什么是群，这和几何学中的做法是完全相同的。但是几何学当中的公理本质只是被一种模型所实现，而群公理却被许多模型所满足。群的处理方法是构造概念的另一种典范方法，群概念是把各种已知的群所有共同的特点勾画出来，然后把凡有这些特点的对象称为群，这是公设性或公理化的概念构成法。 在希尔伯特之后，代数与拓扑是最早被公理化了的数学领域，首先产生的名词是距离空间，其次是拓扑空间。如果说抽象代数能够合理地由旧的代数概念产生和延续，那么拓扑学是在一堆凌乱中创新概念的，公理化抽象对事物的性质进行分析和分类能给出更高的清晰度和更深入的理解。 

      在许多世纪以来，几何学一直被看作数学严密性的典范。“公理化”就是由几何开始征服数学的。爱因斯坦说：“当数学定理涉及现实时，它们是不确切的；当它们是确切时，它们就不涉及现实…，公理化的步骤在于把逻辑形式同现实、同实际的直观的内容严格分开…公理是人类精神的自由创造…”。比如，我们在教学直线、线段概念时，让学生拉直一根绳子来理解，从数学的角度来说，绳子不是线段，线段是抽象的，绳子是具体的，线段与实际相结合，它就是确切了，但我们要确切地描述线段，就不能涉及现实。也就是说数学的公理化，必需与实际分开。希尔伯特的体系从一些公理出发，即由一些关于不定义的概念，如点、线、介于、合同的命题出发，这些概念的含义是由那些公理规定的。今天公理化的方法已经渗透到了整个数学。但数学概念又不能离开直观，在今天，几何依旧无处不在，几何直观已渗透了整个数学。康德说：缺少概念的直观是空虚的，缺少直观的概念是盲目的。我国数学家华罗庚也所说过”数缺形时少直观，形缺数时难入微“。几何直观是小学数学课程标准(2011年版)里所提出的十大核心词之一，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

      现代数学与古老数学不同之处就在于它强调思辨的因素而不是算法，弗赖登塔尔塔用一个著名的白酒与红酒的问题解释说明了算法数学与思辨数学的区别。计算方法可称为计算诀窍，也叫做算法。韦达的代数，笛卡儿的解析几何等就是一些算法。我想到了高斯1+2+3+……+100，也应该是算法，应用算法可以增强人的自信心，满足人游戏的天性。而现代数学中——集合论、抽象代数、分析学、拓扑都是思辨的产物，这在其自身中也包含着算法，这是数学的特点。算法数学思辨数学并不对立，他们是互补的，算法的发展，才促使思辨数学的发展。

        用数学的方法把实际材料组织起来，就是数学化。数学家总是在不断的改造数学，方式的变化就是不断更新数学的方式，是数学自身发展的需要。现在，数学应用领域之一就是统计。统计学是各种没有接受过正规数学教育的人们所接受的领域，还有在应用学科当中最引人注目的就是运筹学。计算机的产生，使对数时代宣告结束，各种各样的人在进行工作时把实际问题数学化，使数学的应用领域增加了许多，新的应用问题往往是组合数学问题，优化数学问题，逻辑问题和组织方面的问题等。而今天计算机已广泛使用于各个领域，在老百姓家中普及，大数据时代的到来，使数学无处不在，无处不用数学。