向量空间
集合和组
集合和 组的区别，这两者都是一堆元素的组合，但集合是无序、不重复的，而组是有序、可重复且长度确定的。域
R :全体实数的集合，即实数域，C：全体复数的集合，即复数域，F：包括R 和C
- 向量空间和向量
从 F 域中选择任意m个元素组成的有序列表，而所有有序列表的集合称为向量空间，这个集合中每一个有序列表，即向量
例：在全体实数中选择两个数组成的有序列表如 (1,2)，(3,4),(-1,9),这些有序列表的全部集合即实数域的二维向量空间
向量空间的本质是多个向量的集合，那么这个集合的子集即 子空间 或者线性子空间
严格的向量空间数学定义是指满足交换律、结合律、加法单位元等等一些列运算规律的元素集合，但这种方式实在太抽象，不如从空间几何上理解，把向量看作为空间中一个个的箭头或者点，而这些箭头的集合就是向量空间，虽然看起来这个想象空间非常的拥挤。
线性组合
V是F域上的向量空间， 是其中的一组向量，那么将这组通过标量乘法先后相加，即得到该向量组的一个线性组合
张成的空间
向量空间V中的一组向量通过 线性组合获得的所有向量的集合称为这一组向量的 张成空间
张成描述的是多次线性组合的过程，而张成后形成的空间，依然是一个向量的集合。这个空间可以等于向量空间 V，也可以是 V的子集。
线性相关
对于空间 V中的一组向量,如果使得的等式只有的唯一解，那么称这一组向量是线性无关的，反之如果存在其他解这一组向量是线性相关的。
通俗的理解，线性无关or相关是描述一组向量的，在这一组向量中，其中任何一个向量都不能通过其他向量的线性组合获得到，那么这一组向量是线性无关的，反之则是线性相关的。从空间上理解，向量是空间里面的箭头，而线性组合包含的标量乘法和相加就是箭头的拉伸压缩和叠加，如果一组向量中，任何一个向量都无法通过其他向量的压缩和叠加来获得，那么自然是线性无关。
基向量
如果 V中的一组向量是线性无关的，且这一组向量的张成空间等于 V，那么这一组向量为基向量
V是向量空间，例如，代表实数的三维向量空间。基向量是一组向量，这一组向量张成的空间等于 V，即这一组向量通过线性组合，可以获得这个向量空间 V中的任意其他向量。
为什么基向量一定是线性无关的？因为如果基向量是线性相关的，那么在该组向量中必然存在某个向量可以通过该组中的其他向量线性组合得来。也就是说，这个向量对于基向量本身来说，是多余的，因此基向量必然线性无关。
向量的点积(内积)
如果向量都是n维向量，那么两个向量的点积为各维度上数值的乘积的和:
向量的点积是标量，当点积为0时，表示两向量是正交的。
向量的叉积(外积)
向量的叉积是向量，膜长为构成的“面积”大小，方向正交与张成的空间，满足右手定则。
线性映射和矩阵
线性映射也就是线性变换，其本质是一种函数，输入和输出都是向量空间，描述的是向量空间V映射到向量空间W的运动过程。从V 到W的线性映射必须满足两个条件：
- 加性
对于所有的线性变换T满足
- 齐性
对于所有的线性变换T满足
线性变换的数学符号就是矩阵，矩阵即线性变换的信息载体。那么如何理解矩阵的数学含义？
<1>线性变换的对象是向量空间，即空间V中的全部任意向量
<2>任何一个向量空间中的所有向量都可以通过基向量的线性组合获得
<3>经过线性变换后，新的向量空间中的所有向量是新的基向量线性组合结果
<3>只要记录原空间 V的基向量线性变换后的新坐标，就可以通过线性组合推导出任意向量经过线性变换后的新坐标
所以，矩阵记录的是，经过线性变换后，原来的基向量在新向量空间中的位置信息
例如对于R2的空间V 有一对基向量 , ，对于任意一个该空间的向量 可以表示成。经过线性变换后，->，基向量 ,-->,。假设变换后新的基向量坐标为 ,那么可以表示为:
将变换后的基向量作为列向量组合在一起，就变成了矩阵 matrix,记作
从空间几何角度去看待矩阵，要比从多元一次方程组来看待矩阵要直白形象得多。
逆矩阵
矩阵T表示从向量空间 V到向量空间W的映射关系，那么矩阵S表示 从W到T的映射关系，则T为W的逆矩阵，W为T的逆矩阵。一个矩阵与它的逆矩阵相乘所得为单位矩阵 I，单位矩阵表示恒等映射，即一模一样的空间映射。
矩阵的转置
矩阵A 的转置 是通过互换行列的角色得到的矩阵：
矩阵的秩
对于矩阵,其 行秩为,列秩为。矩阵A的秩等于矩阵A的 列秩
行列式
在线性映射过程中，原向量空间的基向量被映射到了,行列式表示映射完成后，新的基向量构成的"面积"，这里的面积是广义的，如果是的映射，那么是平行四边形的面积，如果是的映射，那么指的是平行四面体。行列式是描述线性映射后对空间的影响的一个指标。例如，如果那么原向量空间被映射到更低的维度上，甚至直接被拍扁在0维。对于较简单的二维矩阵行列式计算如下:
零空间
对于线性映射T，T的零空间(记作)是指向量空间 V中那些被T 映射到0上的向量的集合。
即输入的向量集V，经过线性映射T 后形成了新的向量集W，这个过程中，原属于V中的一部分向量经过映射后，“不幸”的被拍死在零点（原点）上，这群不幸的向量的集合就是线性映射的零空间 nullT，零空间是 V的子空间。
特征向量、特征值
对于算子T，将空间V映射到W的过程中，一部分向量被映射到上，则为特征值，是基于的特征值。一个n*n的矩阵有n个特征值，特征值之和为矩阵的 迹
特征向量的特性在于，经过同一个矩阵进行映射，无论多少次，特征向量的方向始终不变，而模长变为的k次幂倍。这一特点在求解矩阵的n次幂时非常重要:
参考资料:
- 《线性代数应该这样学》第三版
- 线性代数的本质 - 系列合集