Kruskal算法

介绍

Kruskal算法是一种最小生成树算法，用于在带有权重的连通图中找到最小生成树。一个连通图由一组节点和连接这些节点的边组成，每条边都有一个权重。

Kruskal算法的基本思想是：

从边的权重从小到大进行排序，然后依次考虑每条边。在考虑每条边时，判断当前的边是否会形成环路，如果不会形成环路，则将该边加入最小生成树的边集合中。

具体算法步骤如下：
1. 初始化一个空的最小生成树边集合。
2. 将所有边按照权重从小到大排序。
3. 依次考虑每条边，判断当前边的两个端点是否已经在最小生成树的边集合中，如果不在则将该边加入最小生成树的边集合中。
4. 继续下一条边的考虑，直到最小生成树的边数达到节点数减1或者所有边都考虑完毕。

Kruskal算法的时间复杂度主要取决于对边进行排序的部分，通常使用的排序算法是快速排序或者归并排序，时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。

总结一下，Kruskal算法以贪心的方式逐步构建最小生成树，它的优点在于简单易懂且实现相对容易，适用于边稀疏的图。

举例

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

// 边的结构体
struct Edge {
    int src, dest, weight;
};

// 并查集的数据结构
struct DisjointSet {
    vector parent;

    void init(int n) {
        parent.resize(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
        }
    }

    int find(int x) {
        if (parent[x] != x) {
            parent[x] = find(parent[x]);
        }
        return parent[x];
    }

    void merge(int x, int y) {
        int rootX = find(x);
        int rootY = find(y);
        parent[rootX] = rootY;
    }
};

bool compareEdges(Edge& edge1, Edge& edge2) {
    return edge1.weight < edge2.weight;
}

void kruskal(vector& edges, int n) {
    sort(edges.begin(), edges.end(), compareEdges);

    DisjointSet ds;
    ds.init(n);

    vector minimumSpanningTree;
    int edgeCount = 0;
    int i = 0;

    while (edgeCount < n - 1 && i < edges.size()) {
        Edge& currentEdge = edges[i];
        int srcParent = ds.find(currentEdge.src);
        int destParent = ds.find(currentEdge.dest);

        if (srcParent != destParent) {
            minimumSpanningTree.push_back(currentEdge);
            ds.merge(srcParent, destParent);
            edgeCount++;
        }

        i++;
    }

    cout << "边\t权重\n";
    for (const auto& edge : minimumSpanningTree) {
        cout << edge.src << " - " << edge.dest << "\t" << edge.weight << "\n";
    }
}

int main() {
    int n, m;
    cout << "输入节点数：";
    cin >> n;
    cout << "输入边数：";
    cin >> m;

    vector edges(m);
    cout << "输入每条边的起点、终点和权重：\n";
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> edges[i].src >> edges[i].dest >> edges[i].weight;
    }

    kruskal(edges, n);

    return 0;
}

这个例子中，首先定义了边的结构体Edge，然后定义了并查集的数据结构DisjointSet，并实现了并查集的初始化、查找和合并操作。接下来，通过比较边权重的函数compareEdges来对边进行排序。然后，在kruskal函数中，先对边进行排序，然后使用并查集来判断边的两个端点是否在同一个连通分量中，如果不在，则将边加入最小生成树中，并合并这两个端点为同一个连通分量。最后，输出最小生成树的边和权重。

在main函数中，首先读取节点数和边数，然后逐个读取每条边的起点、终点和权重。最后调用kruskal函数来计算最小生成树。