随机过程：布朗运动

1.一维布朗运动

一维布朗运动是指一个粒子（也可以是分子或颗粒）在一维空间中随机运动的现象。它是由英国生物学家罗伯特·布朗于1827年观察到的，被称为布朗运动。
在一维布朗运动中，粒子在时间的推动下，沿着一条直线上的不同方向进行随机运动，其路径呈现出无规律的波动。这是由于粒子与周围分子的碰撞和动能转移引起的。
一维布朗运动经常用于描述微观尺度下物质的扩散现象，例如液体或气体中微小颗粒的运动。它是一个随机过程，无法精确地预测粒子的位置，但可以通过统计方法描述其平均行为。以一维标准布朗运动$B(t)$为例，它满足:

• 独立增量：设时间$t_1<t_2<t_3$，那么增量$B(t_3)-B(t_2)$独立于$B(t_1)$。
• 稳定增量和正态性：设时间$t_1<t_2$，那么增量$B(t_2)-B(t_1)$服从均值为0，方差为$t_2-t_1$的正态分布。
• $B(t)$几乎处处连续。
• $B(0)=0$.
  对于一个一维布朗运动，对其取一阶差分$X(n)=B(n+1)-B(n)$，可以发现$X(n)$实际上是一串独立的标准正态分布，其自相关函数为$$R(k)=\frac{E\{[X(n+k)-\mu ][X(n)-\mu ]\}}{{\sigma }^2}$$其中，$\mu$是它们公共 的均值，$\sigma$是它们公共的方差。
  一维布朗运动差分后的序列的自相关函数是一个在0点处为1，其他地方为0的函数，而其他的平稳时间序列的自相关函数，在0点处一定是1，在0以外的其他地方未必是0，但也一定是一个[-1,1]之间的数。

2.分布式布朗运动

分布式布朗运动是一种在分布式计算环境中模拟布朗运动的方法。它结合了布朗运动的随机性和分布式计算的特点，用于研究分布式系统中各个节点的行为。它与布朗运动的不同点在于它的增量不再独立，而是具有某种相关性，对于一个布朗运动$B_H(t)$，有$$E\left[B_H\left(t\right)B_H\left(s\right)\right]=\frac{1}{2}\left(|t{|}^{2H}+|s{|}^{2H}-|t-s{|}^{2H}\right)$$如果令$t=s$,则$E[B_H(t{)}^2]=t^{2H}$，所以分布式布朗运动的方差就是$t^{2H}$。其中，H被称为赫斯特指数，以英国水文学家哈罗德$\cdot$赫斯特命名。利用赫斯特指数可以分析时间序列的自相关和自相似性。

• 当H=1/2时，分布式布朗运动会退化成普通的布朗运动，增量间是相互独立的。
• 当H>1/2时，增量间会呈现正相关性，从而导致扩散速度显著高于布朗运动。
• 当H<1/2时，增量间会呈现负相关性，从而导致扩散速度显著慢于布朗运动。

仔细分析股票价格的走势可以发现，股票每天的价格波动很多时候具有很强的相关性。比如当股票大涨时，通常是正相关的，当股票下跌时，通常是负相关的。所以判断赫斯特指数对于分析股票市场的相关性具有重要意义。估计赫斯特指数的方法有很多，本文采用均平方位移法。
假定有一个时间序列，$\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$服从某种分布式布朗运动，那么就有$$E[(X_{j+k}-X_j{)}^2]={\sigma }^2{k}^{2H}$$令$$W_k=\frac{1}{n-k}\sum _{j=1}^{n-k}{\left(X_{j+k}-X_j\right)}^2$$则$$W_k={\sigma }^2{k}^{2H}$$两边同时取对数有
$$log{W}_k=log{\sigma }^2+2Hlogk$$将$logk$看成一个变量，$log{\sigma }^2$看成常数项，那么上式就是一个线性方程，2H就是斜率，可以通过线性回归来估算H的值。
下面用python来实现均平方位移法估计赫斯特参数。

import numpy as np

def Hst_estimate(ts):
    kmax = int(np.floor(len(ts)/2))
    if kmax < 2:
        return -1
    y = np.matrix(np.zeros((kmax, 1)))
    x = np.matrix(np.ones((kmax, 2)))
    ts = np.array(ts)
    for k in range(kmax):
        y[k] = np.log(np.mean((ts[k+1:]-ts[:-k-1])**2))
        x[k, 1] = 2 * np.log(k+1)
    beta = np.linalg.inv(x.T.dot(x)).dot(x.T).dot(y)
    H = beta[1]
    return H

下面给定不同的时间序列，来计算赫斯特参数的值：

ts = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
print(Hst_estimate(ts))

计算结果：[[1.]]

ts = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,10,9]
print(Hst_estimate(ts))

计算结果：[[0.97359599]]

ts = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,10,9,8,7,6,7,8,9,10]
print(Hst_estimate(ts))

计算结果：[[0.69830922]]

通过比较可以发现，当时间序列出现递减后，赫斯特指数也会出现下降，当然，实际的股票市场不可能会一直递增的，而是一直波动的，所以其赫斯特指数正常情况下应该不会很大，那么H大于多少算大呢？这个就得考虑概率分布问题了，具体如何考虑感兴趣的读者可自行研究。

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