LeetCode 11. 盛最多水的容器(C++) 双指针

示例 1：

输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49 
解释：图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下，容器能够容纳水（表示为蓝色部分）的最大值为 49。

示例 2：

输入：height = [1,1]
输出：1

示例 3：

输入：height = [4,3,2,1,4]
输出：16

示例 4：

输入：height = [1,2,1]
输出：2

双指针思路

说明
本题是一道经典的面试题，最优的做法是使用「双指针」。如果读者第一次看到这题，不一定能想出双指针的做法。
分析
我们先从题目中的示例开始，一步一步地解释双指针算法的过程。稍后再给出算法正确性的证明。

题目中的示例为：

[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
在初始时，左右指针分别指向数组的左右两端，它们可以容纳的水量为min(1,7)∗8=8。
此时我们需要移动一个指针。移动哪一个呢？直觉告诉我们，应该移动对应数字较小的那个指针（即此时的左指针）。这是因为，由于容纳的水量是由
两个指针指向的数字中较小值 * 指针之间的距离

决定的。如果我们移动数字较大的那个指针，那么前者「两个指针指向的数字中较小值」不会增加，后者「指针之间的距离」会减小，那么这个乘积会减小。因此，我们移动数字较大的那个指针是不合理的。因此，我们移动 数字较小的那个指针。

有读者可能会产生疑问：我们可不可以同时移动两个指针？ 先别急，我们先假设 总是移动数字较小的那个指针 的思路是正确的，在走完流程之后，我们再去进行证明。

所以，我们将左指针向右移动：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为min(8,7)∗7=49。由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为 min(8,3)∗6=18。由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为min(8,8)∗5=40。两指针对应的数字相同，我们可以任意移动一个，例如左指针：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为min(6,8)∗4=24。由于左指针对应的数字较小，我们移动左指针，并且可以发现，在这之后左指针对应的数字总是较小，因此我们会一直移动左指针，直到两个指针重合。在这期间，对应的可以容纳的水量为：min(2,8)∗3=6，min(5,8)∗2=10，min(4,8)∗1=4。

在我们移动指针的过程中，计算到的最多可以容纳的数量为 4949，即为最终的答案。
下面的动画也给出了这个示例的过程：

证明

为什么双指针的做法是正确的？
双指针代表了什么？
双指针代表的是 可以作为容器边界的所有位置的范围。在一开始，双指针指向数组的左右边界，表示 数组中所有的位置都可以作为容器的边界，因为我们还没有进行过任何尝试。在这之后，我们每次将 对应的数字较小的那个指针 往 另一个指针 的方向移动一个位置，就表示我们认为 这个指针不可能再作为容器的边界了。
为什么对应的数字较小的那个指针不可能再作为容器的边界了？
在上面的分析部分，我们对这个问题有了一点初步的想法。这里我们定量地进行证明。
考虑第一步，假设当前左指针和右指针指向的数分别为 x 和 y，不失一般性，我们假设 x≤y。同时，两个指针之间的距离为 t。那么，它们组成的容器的容量为：

min(x,y)∗t=x∗t

我们可以断定，如果我们保持左指针的位置不变，那么无论右指针在哪里，这个容器的容量都不会超过 x * t 了。注意这里右指针只能向左移动，因为 我们考虑的是第一步，也就是 指针还指向数组的左右边界的时候。
我们任意向左移动右指针，指向的数为 y1，两个指针之间的距离为 t1，那么显然有 t1

如果 y1 ≤y，那么 min(x,y1)≤min(x,y)；
如果 y1 >y，那么 min(x,y1)=x=min(x,y)。

因此有：

min(x,yt)∗t1<min(x,y)∗t

即无论我们怎么移动右指针，得到的容器的容量都小于移动前容器的容量。也就是说，这个左指针对应的数不会作为容器的边界了，那么我们就可以丢弃这个位置，将左指针向右移动一个位置，此时新的左指针于原先的右指针之间的左右位置，才可能会作为容器的边界。
这样以来，我们将问题的规模减小了 1，被我们丢弃的那个位置就相当于消失了。此时的左右指针，就指向了一个新的、规模减少了的问题的数组的左右边界，因此，我们可以继续像之前 考虑第一步 那样考虑这个问题：
求出当前双指针对应的容器的容量；
对应数字较小的那个指针以后不可能作为容器的边界了，将其丢弃，并移动对应的指针。
最后的答案是什么？
答案就是我们每次以双指针为左右边界（也就是「数组」的左右边界）计算出的容量中的最大值。

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
        int l = 0, r = height.size() - 1;
        int ans = 0;
        while (l < r) {
            int area = min(height[l], height[r]) * (r - l);//求出面积
            ans = max(ans, area);//存储最大面积
            if (height[l] <= height[r]) {//右移指针
                ++l;
            }
            else {
                --r;
            }
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(N)O(N)，双指针总计最多遍历整个数组一次。
空间复杂度：O(1)O(1)，只需要额外的常数级别的空间。