Ford-Fulkerson算法正确性证明

问题描述

图论中有一类重要的问题就是流量问题。求一个流网络的最大流量。那么可以用的方法有很多，比较经典的是FF(Ford-Fulkerson)算法。本文主要描述FF算法正确性的证明。涉及到的知识点：

1. 流网络
2. Fold-Fulkerson算法
3. 割
4. 最大流-最小割定理

其中我们用最大流-最小割定理来证明FF算法的正确性

预备知识

流网络

一个流网络的定义如下：

流网络是一个有向图。具有如下属性：

• 每条边有一个非负的容量值
• 如果 ，那么
• 如果 ，则有
• 不允许有自循环

流网络中有两个重要的顶点，其中s叫做源点（source），t叫做汇点（sink）。流网络中的流是从源地点到汇点。流网络中的所有流都从源点出发，然后最终都流入汇点。

如图就是一个流网络的示意图：

流网络示意图

流

网络G的流是一个如下的一个函数：

流具有如下性质：

• 容量限制：

  也就是说，一个流的值是不能大于该流的容量

• 流量守恒：

  
  也就是说，对于任意的非s，非t顶点，从这个顶点流出的流和流入的流是相等的

  并且如果

流的值

一个流的值用表示

表示从流出的所有值减去流入的所有值

割

定义

我们定义一个流网络的割（cut）为：

其中

就是将一个图分割为两个不相交的集合。s在其中一个集合中，t在另外一个集合中，并且两个集合中的点是不相连的

我们引入一些网络流割的属性：

割的净流量

割的容量

证明

为了证明FF的正确性，我们需要引入一个引理来辅助证明过程

引理1

设为流网络中的一个流，横跨任何切割的净流量都相同，都为，即流的值。即证明

证明引理1:

证明有两种方式，一种是严格的数学证明，另外一种是直观上的感受，如果对于数学证明没有兴趣的话，那么可以直接去看直观上的证明。

数学证明

对于流量守恒特性，我们有： ，

根据流的值的定义：

，将上面的式子针对每一个相加得到

我们可以看到，这个等式前面括号的一部分就是，后面的一部分根据流量守恒知道为0

因此

证毕。

直观证明

根据流的定义，我们知道一个流网络的流的值是所有从流出的流的和，减去所有进入的流。那么从出去的流，最后都会进入到中。而我们任意的一个切割，都将这个网络分成了两个不相连的部分，位于一部分位于一部分。如果流想要从到的话，那么必须经过这个切割。而流网络是没有损耗的，因此经过这个切割的流的值，一定等于从中流出的值和流入值的差，也就是整个网络的流的值。即 证毕。

推论1

有了引理1，我们就可以有推论1：网络的流小于或等于网络任意切割的切割容量，即

证明推论1:

根据引理1，我们知道。网络的流等于任意横跨切割的流，而再根据容量限制我们知道横跨任意切割的流小于等于切割的容量。传递过来，我们就有，网络的流小鱼等于任意切割的容量，即

证毕。

定理1

有了推论1，我们就可以很明显的得出。一个网络的最大流的值等于一个最小切割的容量。即最大流-最小切割定理。

最大流-最小割

设为流网络中的一个流，该流网络的源点为，汇点为，则下面的条件是等价的：

(1) 是的一个最大流
(2) 残存网络不包括任何增广路径
(3) ，其中是流网络的某个切割

我们可以看到，FF算法在可以终止的前提下，终止的条件是（2），我们假设在（2）的前提下有（1），也就是 我们就是需要证明

我们使用反证法来证明。如果一个是最大流，但是中存在增广路径，那么根据FF算法就可以增加网络的流的大小，那么这个流就不是最大流了。与我们最初的假设矛盾，因此是正确的

中不存在增广网络，那么我们就可以将切割为定义，那么显然有。 我们对于会有下面两个推论：

• ；因为，如果那么在中必然有到的通路，那么跟据定义就属于中，与矛盾，因此
• ；因为如果那么显然，如果并且那么在残存网络中就存在一条的路径，那么，这于矛盾。因此

有上面的两个推论，我们结合跨切割的流的定义有：

根据引理1，我们有

因此正确

根据推论1，我们知道，而中的等于前提，即即表明了这是一个最大流。因此是正确的

经过上面的证明我们可以看到，是一个独立的条件，那么就会有这样的证明链条，也就有也就是我们要证明的结论，即FF算法的正确性--在没有残差网络的情况下得到的流一定是最大流。事实上互为充要条件。

证毕。