多目标优化的DTLZ基准问题详细介绍（最全概括）

DTLZ

简介

该问题的目标函数个数M是自定义的。

1.DTLZ1

DTLZ1问题的特点是存在($11^k-1$)个局部最优，所以MOGA不容易找到最优Pareto集。

它的定义是：

最后$k=(n-M+1)$个变量表示为$x_M$。函数式$g(x_M)$要求用$|x_M|=k$个变量，即有$k=(n-M+1)$个x变量，并且必须接受带有$g\ge 0$的任何函数。

$g(x_M)$定义如下：

最优情况下：
对于所有的$x_i\in x_M，x_i=0.5$ ,而此时M个目标值之和满足等于0.5，这个特点也可用于性能度量

Pareto front：

2.DTLZ2

由于自定义M，该问题也可以被用于测试算法对大量目标函数的问题的性能。在这我们还可以将每个变量$x_i$变成下式p个变量的均值，用于增加难度：

具体定义为：

最优情况下：
对于所有的$x_i\in x_M，x_i=0.5$ ,而此时M个目标值的平方和满足等于1，这个特点也可用于性能度量

Pareto front：

3.DTLZ3

为了增加搜索全局最优的难度，建议在g函数等于Rastrigin的情况下使用上面的问题，即当g满足Rastrigin的最优化时，该问题才能找到全局最优。Rastrigin具体定义如下：

DTLZ3问题定义如下：

最优情况下：
对于所有的$x_i\in x_M，x_i=0.5$

Pareto front：

4.DTLZ4

该问题由DTLZ2修改而来，侧重于测试MOEA算法的解的分布性

原文建议$\alpha =100$

最优情况下：
对于所有的$x_i\in x_M，x_i=0.5$

Pareto front：

5.DTLZ5

这个问题将测试MOEA收敛到曲线的能力，还将允许一种更简单的方法(通过绘制FMFM和任何其他目标函数)来直观地演示MOEA的性能。由于这条Pareto-最优曲线附近的解有一个自然偏差，这个问题对于一个算法来说可能很容易解决。

定义如下：

最优情况下：
对于所有的$x_i\in x_M，x_i=0.5$ ,而此时M个目标值的平方和满足等于1，这个特点也可用于性能度量

Pareto front：

6.DTLZ6

该问题基于DTLZ5进行修改

我们把g函数修改成下式,其他不变:

选择$x_M$矢量的大小为10，变量总数与DTLZ5相同。由于问题的上述变化，算法很难像DTLZ5那样收敛到真正的pareto最优前沿。

最优情况下：
对于所有的$x_i\in x_M，x_i=0.5$

Pareto front：

7.DTLZ7

该问题有$2^{M-1}$个不连通的最优Pareto 区域，用于测试算法在不同的Pareto区域里维持子种群的能力
定义如下：

最优情况下：
对于所有的$x_i\in x_M，x_i=0$

Pareto front：

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