LeetCode Hot 100 No.494 目标和

思路：这道题用动态规划的方式做。
我们容易知道，这个整数数组nums构成的表达式，最大值应该是sum(nums)，最小值应该是-sum(nums)。
首先我们建立一个表格，其中每行对应每一个nums中的元素，每列对应着从-sum(nums)到sum(nums)的所有数字。如下所示：其中最左边的一列是其右边黄色的一列对应在nums中的索引。

这个表格中的 每一个元素（i，j）代表着用从0~i的nums子列中的元素能找到几种构造方式，使得表达式的值等于 j?
比如我们看（0，-1) 它代表用从0~0的nums子列（也就是nums[0]）构造表达式，我们能找到几种构造方式，使表达式的值等于 -1？ 因为nums[0] =1 ，所以我们的构造方式只有一种就是 -1，所以(0,-1)的值就是1。所以我们可以把第一行所有元素都写出来，只有 j 的绝对值等于nums[0] 的位置的值是1,其余位置都是0。如下所示：

我们来看如何找到递推关系。如果我们要求（3，j）位置的值，它和哪些元素的值直接相关呢？
我们先分析，（3，j）位置的值，代表用从nums[0]~nums[3]这4个元素构成的表达式，值等于j 的表达式的数量。我们来看，nums[0] nums[1] nums[2] nums[3]构成的表达式，其实就是在nums[0] nums[1] nums[2]构成的所有表达式的末尾，再加或者减一个nums[3]。那么如果nums[0] nums[1] nums[2] nums[3]构成的表达式等于一个值 如 j ， 那么nums[0] nums[1] nums[2] 组成的表达式的值一定等于j-nums[3]或者j+nums[3]。所以，nums[0] nums[1] nums[2] nums[3]构成的表达式等于j的个数，就等于
nums[0] nums[1] nums[2] 组成的表达式的值等于j-nums[3]的个数 再加上 nums[0] nums[1] nums[2] 组成的表达式的值等于j+nums[3]的个数。而这两个数其实就是（2，j-nums[3]）和（2，j+nums[3]）。
所以我们就可以写出一个递推公式，那就是：
（3，j） = (2, j-nums[3]) + (2, j+nums[3])
我们再进一步扩展，那就是：
（i , j ) = (i-1, j-nums[ i ]) + (i-1, j+ nums[i])

我们就可以用动态规划的方法，从上到下，从左到右把这个表格遍历完，就能把表格的所有位置都填满。最后我们返回（4，3）就可以了。总的时间复杂度为 O(N 2)

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for(int i:nums)
            sum+= i;
        if(Math.abs(target)>sum)
            return 0;
        int[][] table = new int[nums.length][2*sum+1];
        for(int i=0;i<nums.length;i++)
        {
            for(int j=0;j<2*sum+1;j++)
            {
                int s = j-sum;
                if(i==0)
                {
                    if(s==nums[i]||s==-nums[i])
                    {
                        table[i][j] = nums[i]==0?2:1;
                    }
                    
                    else
                    table[i][j]=0;
                }
                else
                {
                    int sub = 0;
                    int add = 0;
                    sub = ((j-nums[i])<0)?0:table[i-1][j-nums[i]];
                    add = ((j+nums[i])>=2*sum+1)?0:table[i-1][j+nums[i]];
                 
                    table[i][j] = add+sub;
                }
                // System.out.println("i:"+i+", j:"+j+","+ table[i][j]);
            }

        }
    return table[nums.length-1][target+sum];

    }
}