AM@微分中值定理

微分中值定理

abstract

• 微分中值定理是导数应用的理论基础
• 微分中值定理的关系:
  • 费马引理
  • Rolle定理推出Lagrange中值定理和Cauchy中值定理

费马引理

• 设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域$U(x_0)$内有定义,并且在$x_0$处可导
  • 若$\forall x\in U(x_0)$,有$f(x)⩽f(x_0)$(或$f(x)⩾f(x_0)$),即$x=x_0$是一个极值点则$f^{\prime }(x)=0$
• 证明:(以$f(x)⩽x_0$情形为例,另一情形类似)
  • 设$x\in U(x_0)$时,$f(x)⩽f(x_0)$,则对于
    • $x=x_0+\Delta x\in U(x_0)$,有$f(x)⩽f(x_0)$,即$f(x)-f(x_0)⩽0$
  • 从而当$\Delta x>0$时,$\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x}⩽0$;当$\Delta x<0$,$\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x}⩾0$
  • 根据函数$f(x)$在$x_0$可导以及极限的保号性,得
    • $f^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$=$\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x}⩽0$
    • $f^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)$=$\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x}⩾0$
  • 所以$0⩽f^{\prime }(x_0)⩽0$,即$f^{\prime }(x)=0$
• 费马引理的简述为函数在可导区间内的极值点处的导数为0
• 导数为0的点称为驻点

罗尔定理

• 若函数$f(x)$满足
  1. 闭区间$[a,b]$上连续
  2. 开区间$(a,b)$内可导
  3. 区间端点处的函数值相等($f(a)=f(b)$)
• 则$(a,b)$内至少有一点$\xi (\xi \in (a,b))$,使得$f^{\prime }(\xi )=0$
• Note:
  • 区间端点处不要求可导,但是区间端点处的函数值要求相等
  • 这显然是一个关于导数的定理
• 证明
  • 由条件(1)和闭区间上连续函数最值定理,$f(x)$在闭区间$[a,b]$上必定能取得$f(x)$的最值(最小值$m$,和最大值$M$)
  • 当$M=m$时,$f(x)$在$[a,b]$上总取相同的数,因此其导数为0,$(\forall x\in (a,b))$,有$f^{\prime }(x)=0$
  • $M>m$时,由条件(3),设$f(a)=f(b)=k$,显然$m,M$至少有一个不等$k$,不妨设$M\ne f(a)$(即$M>k$);那么开区间$(a,b)$内有一点$\xi$使得$\xi$满足$f(\xi )=M$,
  • 因此从而$\forall x\in [a,b]$,总有$f(x)⩽f(\xi )=M$,再有费马引理,$f^{\prime }(\xi )=0$
  • Note:前面的工作在说明可导极值点存在于开区间$(a,b)$内,最有由费马引理得证

拉格朗日中值定理(微分中值定理)

• Largrange定理是Rolle定理改进和推广的结果,它取消了Rolle定理的第一个条件,并调整了结论,具有重要地位,称为微分中值定理
• 若函数$f(x)$满足:
  1. 在开区间$[a,b]$上连续
  2. 在开区间$(a,b)$内可导
• 那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi <b)$,使得等式$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$(0)成立
  • 其中等式(0)可以变形为$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$=$f^{\prime }(\xi )$(0-1)
  • 若记$\Delta x=b-a$;$y=f(x)$,$\Delta y=f(b)-f(a)$,则(0)写成$\Delta y=f^{\prime }(\xi )\Delta x$(0-2)的形式,该公式是$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\Delta x$的增强版本(另见有限增量定理)
• Note:
  • 公式(0)也叫lagrange中值公式
  • 定理中的闭区间两端点内置$\xi$可能是变量,例如都是关于$a$,的函数$(a=a(x),b=b(x))$,
    • 此时结论为$a(x)<\xi (x)<b(x)$内至少有一点$\xi$满足$\frac{f(b(x))-f(a(x))}{b(x)-a(x)}$=$f^{\prime }(\xi (x))$
    • 通过构造合适的闭区间,可以被用来推导许多结论和不等式

分析

• 定理的结论形如通过点$A(a,f(a)),B(b,f(b))$两点的直线的点斜式方程
• 定理的几何意义:
  • 将定理的结论改写为直线斜率的形式(0-1)式
  • $f^{\prime }(\xi )$为曲线上的点$C(\xi ,f(\xi ))$处的切线斜率,该切线平行于弦$AB$
  • 若连续曲线$y=f(x)$在弧$AB$上除端点外处处具有不垂直于$x$轴的切线,则弧上至少有一点$C$,使得曲线在点$C$处的切线平行于弦$AB$
• Rolle定理中端点弦$AB$是平行于$x$轴的,定理中的$C$点的切线斜率为0,也平行于$x$轴,从而也满足Largrange定理(特殊情况)

证明

• Largrange定理的证明可以基于Rolle定理进行,为此需要构造一个能够运用Rolle定理且和Largrange定理的函数相关的辅助函数
• 辅助函数的构造可以启发于Largrange定理的几何解释:
  • 弦$AB$所在直线可以解释为斜率为$k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$(0-3),过点$A(a,f(a))$的直线,即为$y-f(a)=k(x-a)$,变形为$y=L(x)$的形式:$y=f(a)+k(x-a)$
  • 基于直线方程(一次函数)$y=L(x)$,和函数$f(x)$,构造辅助函数$\varphi (x)=f(x)-L(x)$=$f(x)-f(a)-k(x-a)$(1),这是描述两曲线$f(x)$和$L(x)$间的差值$y$轴方向上的差值的函数,与$f(x)$密切相关,且其重要特点是端点处两曲线重合,两端点处差值都为0,这符合Rolle定理的运用条件
• 由辅助函数(1)容易验证其满足$\varphi (a)=\varphi (b)$的条件,且$\varphi (x)$在$[a,b]$内连续,在$(a,b)$内可导,可运用Rolle定理
• 由${\varphi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-k$(2)和Rolle定理,$(a,b)$内至少有一点$\xi$,使得${\varphi }^{\prime }(\xi )=0$,即$f^{\prime }(\xi )-k=0$,得$k=f^{\prime }(\xi )$,所以(0-1)成立,就有(1)成立

有限增量定理

• 设,$x_1=x+\Delta x$且$x,x_1\in [a,b]$
  • 若$\Delta x>0$,则$x<x_1$,公式(0)在区间$[x,x_1]$上可改写为$f(x_1)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\cdot \Delta x$,$\theta \in (0,1)$(3),即对$\xi$改写为$x+\theta \Delta x$的形式
    • 因为$\theta \in (0,1)$,$\theta \Delta x\in (0,\Delta x)$,若令$\xi =x+\theta \Delta x$,则$\xi \in (x,x+\Delta x)$
  • 若$\Delta x<0$,则$x>x_1$,公式(0)在区间$[x_1,x]$上同样可以改写为(3)
• 若记$f(x)=y$,则:$\Delta y$=$y_1-y$=$f(x_1)-f(x)$,从而式(3)可以写成$\Delta y=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\cdot \Delta x$,$\theta \in (0,1)$(3-1),本质上还是$\Delta y=f^{\prime }(\xi )\Delta x$
  • 这个表达式形似微分公式$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\cdot \Delta x$,而$\mathrm{d}y\to \Delta y(\Delta x\to 0)$($\mathrm{d}y$是$\Delta y$在$|\Delta x|$很小时的近似值
  • 公式(3-1)却给出了增量$\Delta y$的导数和自变量增量(微分)的准确表达式,且$|\Delta x|$不必取很小的值,只要是个有限增量即可,因此式(3-1)被称为有限增量公式
  • 这个公式可以从几何中得到直观的解释,同样是曲线线性化,将闭区间$[a,b]$内部的某个子闭区间$[x,x_1]$再次应用Largrange的结果;从而将某两点的函数差值(增量)转换为某个线性函数两点函数值的差值(增量)来计算
• 上述结论称为有限增量定理,其基本原理来自于Largrange中值定理
• 在某些问题中,当自变量$x$取得有限增量$\Delta x$而需要函数增量的准确表达式时,此定理十分有用

Largrange定理和恒零导数

• 导数恒为0的函数是常数函数
• 具体地:若$f(x)$在区间$I$上连续,$I$内(不取端点)可导且导数恒为0(即,$\forall x\in I,f^{\prime }(x)=0$),则$f(x)$在区间$I$上是一个常数
• 证明:设$x_1,x_2\in I$,设$x_1<x_2$,由式(0)得$f(x_2)-f(x_1)$=$f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)$,$(\xi \in (x_1,x_2))$
  • 由$f^{\prime }(\xi )=0$,得$f(x_2)-f(x_1)=0$,从而$f(x_2)=f(x_1)$
  • 即任意两点的函数值都相等,得任意自变量都是取同一个函数值,所以$f(x)$是一个常数

例

• 证明当$x>0$时,不等式$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<0$
  • 令$f(t)=\ln (t+1)$(0),则$f(t)$在区间$[0,x]$上满足Largrange中值定理的条件,则有式(1):$f(x)-f(0)$=$f^{\prime }(\xi )(x-0)$,$\xi \in (0,x)$
  • $f(0)=0$,$f^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t}$(2);(0),(2)代入(1)化简得$f(x)=\frac{1}{1+\xi }x$,从而$\ln (1+x)$=$\frac{1}{1+\xi }x$(3)
  • 由$\xi \in (0,x)$,所以式(3)可以被放大和缩小在范围:$\frac{x}{1+x}<\frac{x}{1+\xi }<x$(4),将(3)代入(4),得证$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<0$,$(x>0)$

柯西中值定理

• ref:柯西中值定理

用微分中值定理来解决问题

• 为了使用微分中值定理推导某些结论或解决某些问题,往往需要构造一个符合某个微分中值定理的函数(即,构造满足条件的辅助函数)

• 罗尔中值定理:基本的中值定理

  • 条件最为苛刻,但是可以用来证明拉格朗日中值定理
    • 通过构造满足罗尔中值定理条件的辅助函数,将问题化归为罗尔中值定理能够解决的情形
    • 从而得到更具一般性的结论

三个定理的共同条件

• Rolle 中值定理和Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理都要求被研究的对象在给定闭区间$[a,b]$内连续,并且在相应的开区间$(a,b)$内可导

利用微分中值定理证明不等式

• 利用$\xi$所处的区间$(a,b)$来构造不等式,以便使用对应的微分中止定理来证明一些不等式,区间$[a,b]$中的端点$a,b$可以是变量(譬如区间$[a,x]$)
• 再将需要证明范围的函数$f(x)$使用一个包含$\xi$以及区间的端点$a,b$构造出不等式