沃尔什函数
沃尔什函数
拉德马赫函数
正弦波分频后进行比较，输出的矩形波引出Rademacher 函数（拉德马赫函数）。定义为：
R ( k , t ) = s g n ( s i n ( 2 k π t ) ) k = 0 , 1 , 2 , . . . . . R(k, t) = sgn(sin(2^k\pi t)) \quad k = 0, 1, 2, ..... R(k,t)=sgn(sin(2kπt))k=0,1,2,.....
其中sgn是正负号函数：
s g n ( x ) = { 1 , x > 0 − 1 , x < 0 sgn(x) = \begin{cases} 1,\quad x >0 \\ -1, \quad x < 0 \end{cases} sgn(x)={1,x>0−1,x<0
当x= 0 是，sng无定义。
R(k, t)的定义域为[0，1）那么拉德马赫函数的图像如下图：
函数中2k 相当于对方波进行分频。将周期[0,1) 分成2k 份。在后半周期函数值为-1；
尝试R(K,T)，它是一组正交基函数。
将拉德马赫函数周期延拓，它是奇对称函数，无法表示偶函数，所以它不是一组完备正交基函数。它只是沃尔什函数一个子集。有拉德马赫函数可以引出沃尔什函数。
沃尔什函数
正数n可以由二进制表示
n = ∑ k = 0 m − 1 n k 2 k n k = 0 o r 1 n = \sum_{k=0}^{m-1} n_{k}2^k\quad n_{k}=0\space or \space1 n=k=0∑m−1nk2knk=0 or 1
定义沃尔什函数WALp(n,t):
W A L p ( n , t ) = ∏ k = 0 m − 1 R ( k + 1 , t ) n k t ∈ [ 0 , 1 ) WAL_{p}(n,t) = \prod_{k=0}^{m-1} R(k+1, t)^{n_{k}}\quad t\in [0,1) WALp(n,t)=k=0∏m−1R(k+1,t)nkt∈[0,1)
R(k,t)是拉德马赫函数, m是能够表示n的二进制位数。
例：
9 = 1 ∗ 2 3 + 0 ∗ 2 2 + 0 ∗ 2 1 + 1 ∗ 2 0 9 = 1 * 2^{3} + 0 * 2^{2} + 0 * 2^{1} + 1 * 2^{0} 9=1∗23+0∗22+0∗21+1∗20
W A L p ( 9 , t ) = R ( 1 , t ) R ( 4 , t ) WAL_{p}(9,t)\quad = R(1,t)R(4, t) WALp(9,t)=R(1,t)R(4,t)
前16个沃尔什函数：
沃尔什函数指数形式
把t 属于[0, 1), 用指数形式表示：
t = ∑ j = 1 + ∞ t j 2 − j t j = 0 o r 1 t = \sum_{j=1}^{+\infty} t_{j} 2^{-j}\quad t_{j} = 0\space or \space 1 t=j=1∑+∞tj2−jtj=0 or 1
则上边的拉德马赫函数可以表示为一下形式：
{ R ( 0 , t ) = 1 R ( k , t ) = ( − 1 ) t k t = 1 , 2 , 3 , . . . . \begin {cases} R(0, t) = 1 \\ R(k, t) = (-1)^{t_{k}} \quad t= 1, 2,3,.... \end {cases} {R(0,t)=1R(k,t)=(−1)tkt=1,2,3,....
可以将t的指数形式带入拉德马赫函数的定义式中得到这个结果。
s i n ( π 2 k ∗ ∑ j = 1 + ∞ t j 2 − j ) = s i n ( π ∑ j = 1 + ∞ t j 2 k − j ) sin(\pi2^{k}* \sum_{j=1}^{+\infty} t_{j} 2^{-j}) = sin(\pi\sum_{j=1}^{+\infty}t_{j}2^{k-j}) sin(π2k∗j=1∑+∞tj2−j)=sin(πj=1∑+∞tj2k−j)
= s i n ( π ∗ ( ∑ j = 1 k − 1 t j 2 k − j + t k + ∑ j = k + 1 + ∞ t j 2 k − j ) ) =sin(\pi *(\sum_{j=1}^{k-1}t_{j}2^{k-j} + t_{k} + \sum_{j=k+1}^{+\infty}t_{j}2^{k-j})) =sin(π∗(j=1∑k−1tj2k−j+tk+j=k+1∑+∞tj2k−j))
= s i n ( π ∗ ( ∑ j = 1 k − 1 t k − j 2 j + t k + ∑ j = 1 + ∞ t j + k 2 − j ) ) = sin(\pi * (\sum_{j=1}^{k-1}t_{k-j}2^{j}+ t_{k} +\sum_{j=1}^{+\infty}t_{j+k}2^{-j})) =sin(π∗(j=1∑k−1tk−j2j+tk+j=1∑+∞tj+k2−j))
上式中括号内的三项，第一项始终是2的倍数，第三项始终小于1，tk 取值为0或者1，所以内括号的取值在（0,1）或者（1,2）完全有tk的值决定。有
R ( k , t ) = { 1 , t k = 1 0 , t k = 0 → R ( k , t ) = ( − 1 ) t k R(k,t) = \begin {cases} 1, \quad t_{k} = 1 \\ 0, \quad t_{k} = 0 \end {cases} \quad \rightarrow R(k,t) = (-1)^{t_{k}} R(k,t)={1,tk=10,tk=0→R(k,t)=(−1)tk
tk就是二进制小数点后第k位的值。
带入沃尔什函数的定义式得到指数形式的表示：
W A L p ( n , t ) = ( − 1 ) ∑ k = 0 m − 1 n k t k + 1 WAL_{p}(n,t) = (-1)^{\sum_{k=0}^{m-1}n_{k}t_{k+1}} WALp(n,t)=(−1)∑k=0m−1nktk+1
n确定m和nk的值。tk就是上面的定义。