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用直接三角分解法解线性方程组

* §5 用直接三角分解法解线性方程组 5.1 矩阵的三角分解 列主元高斯消去法实质上是对方程组进行等价变形，即是对 定理 10 1、矩阵的杜里特尔(Doolittle)分解 系数矩阵施行行初等变换，这些初等变换又可以用矩阵表示。因此 矩阵的三角分解是列主元高斯消去法的另一种表示方法，或着说 高斯消去法的变形，即是高斯消去法紧凑格式的矩阵表示(矩阵的 ，如果A顺序主子式 其中L为单位下三角阵，U为上三角矩阵。 说明： 则A可唯一分解为两个三角矩阵相乘，即 L为单位下三角阵,则A可唯一分解为两个三角矩阵相乘, 否则，分解不是唯一的。 三角分解)，它在解方程组的直接法中起着重要的作用。 因为A的顺序主子式非零，则由定理8 证明： 再由高斯消去法定理6知，存在初等下三角 也就是A分解为一个单位下三角阵L与一个上三角阵U的乘积，即 由于上三角阵的逆仍为上三角阵，单位下三角阵的逆仍为单位下三 角阵；上三角阵的乘积是上三角阵，单位下三角阵的乘积为单位下 三角阵。等式左边是单位下三角阵，右边是上三角阵，要使等式 成立，只能等于单位矩阵I。于是 例7 设 ，试将A进行三角分解。 解： 由高斯消去法得到 证明： 推论： 由定理10 ,A=LU，L为单位下三角阵，U为上三角阵， 因为U唯一，则D，R都唯一，所以A=LU=LDR唯一。 结论： 若 的顺序主子式不等于0，则A的唯一的三角 分解有下列三种形式： 1. A=LDR，L:单位下三角阵, D:对角阵, R:单位上三角阵。 2 . A=LU，—Doolittle分解。L:单位下三角阵,U:上三角阵 。 3.A=(LD)R=L'R — 克劳特(Crout)分解。 当n很大时，实际应用中不采用验证前n-1阶顺序主子式是否等 2、非奇异方阵的PLU分解 定理11 设n阶方阵A为非奇异矩阵，则存在n阶置矩阵P，n阶 可以用置换阵与A相乘表示，因此有以下的PLU分解。 于0，对非奇异矩阵A，若 ，则可以交换两行元素，此交换也 分解。 单位下三角方阵L和n阶上三角方阵U使得PA=LU，此分解称为PLU 注：在实际计算时，把求LU分解与求置换阵P穿插进行。 则分解过程如下： 例： 解： 直接三角分解法解线性方程组的两方法：不选主元三角分解法 5.2 不选主元三角分解法 选主元三角分解法 设n阶方阵A为非奇异阵，且有分解A=LU，下面用待定系数法 求A的LU分解。 —U的第一行元素 —L的第一列元素 —U的第一行元素 —L的第一列元素 设已求出U第1行到第r-1行元素及L第1列到第r-1列元素，则U 当A所有顺序主子式都不为零时， 第r 行元素及L第r 列元素可用以下公式计算。 得到直接分解法解方程组 不用存储中间量，适合于计算机计算。 优点： 说明：以上计算方法实际上是消去法的变形 — 紧凑格式。 算法11对应(Doolittle)分解 1.方法比较 消元法： 消元法的公式只有一组，便于计算机计算。 消元法与三角分解法间的关系： 三角分解法： 2.计算次数 注： 三角分解法的存放元素的方法： 例8 用直接三角分解法解方程组 。 解： *