运筹学排队论

参考：https://wenku.baidu.com/view/338d09ffc4da50e2524de518964bcf84b8d52ded.html

1.基本概念

（1）解决的问题

常见的现象： 上、下班搭乘公共汽车;顾客到商店购买物品;病员到医院看病;旅客到售票处购买车票;学生去食堂就餐等就常常出现排队和等待现象，排队的不一定是人也可以是物。
解决： 面对拥挤现象，人们总是希望尽.量设法减少排队，通常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。于是，顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小，就构成了随机服务系统中的一对矛盾。
如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾，这就是随机服务系统理论一排队论所要研究解决的问题。

（2）排队系统（又被称为：随机服务系统）的特征

实际的排队系统虽然千差万别，但是它们有以下的共同特征:
(1)有请求服务的人或物一顾客;
(2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台;
(3)随机性是排队系统的一个普遍特点。顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供服务的时间是随机的,因而整个排队系统的状态也是随机的。排队系统的这种随机性造成某个阶段顾客排队较长，而另外一些时候服务员(台)又空闲无事。
任何一个排队问题的排队过程都可以用下图表示:

（1）每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统
（2）加入队列排队等待接受服务
（3）服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务
（4）获得服务的顾客立即离开

（3）排队系统的基本组成部分

（3.1）组成部分

通常，排队系统都有输入过程、服务规则和服务台等3个组成部分。

（3.2）输入过程

这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流。一般可以从3个方面来描述一个输入过程：
(1) 顾客总体数，又称顾客源、输入源。
这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故障待修的机床则是有限的。
(2)顾客到达方式。
这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾客则是成批到达的。
(3)顾客流的概率分布或称相继顾客到达的时间间隔的分布
这是求解排队系，统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K个顾客(K=1、2、…) 的概率是多大。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。

（3.3）服务规则

这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。一般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。

(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。

(2) 等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。 等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则:
①先到先服务。 按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。
②后到先服务。 仓库中迭放的钢材，后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。
③随机服务。 即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务。
④优先权服务。 如老人、儿童先进车站;危重病员先就诊均属于此种服务规则。

(3)混合制. 这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。 具体说来，大致有三种:
①队长有限。 当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是有限的。例如最多只能容纳K个顾客在系统中，当新顾客到达时，若系统中的顾客数(又称为队长)小于K,则可进入系统排队或接受服务;否则，便离开系统，并不再回来。
②等待时间有限。 即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T ，当等待时间超过T时，顾客将自动离去,并不再回来。如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动离去另找饭店用餐。
③逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。
损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如记s为系统中服务台的个数，则当K=s（系统中的顾客数=服务台的个数）时，混合制即成为损失制；当K=∞时，混合制即成为等待制。

（3.4）服务台

（1）服务台的数量及其构成方式
数量上分为： 单服务台 和多服务台
从构成形式上看分为：
①单队-单服务台式;
②单队-多服务台并联式;
③多队-多服务台并联式;
④单队-多服务台串联式;
⑤单队-多服务台并串联混合式，以及多队-多服务台并串联混合式等等。
（2）服务方式
这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属于成批服务。
（3）服务时间的分布
在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。

（4）排队系统的描述符号

为了 区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描述或分类，可给出
很多排队模型。为了方便对众多模型的描述，肯道尔(D. G. Kendall) 提出了一种目前在排队论中被广泛采用
的“Kendal1记号”，完整的表达方式通常用到6个符号并取如下固定格式:A/B/C/D/E/F

（5）排队系统的主要数量指标

队长： 指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)
排队长： 指系统中正在排队等待服务的平均顾客数。
等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间，通常希望等待时间越短越好。
逗留时间： 从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量，同样为顾客非常关心。
忙期（服务台关心的）：指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。 它关系到服务员的服务强度
闲期（服务台关心的）即服务机构连续保持空闲的时间。 在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。

除了上述几个基 本数量指标外，还会用到其他一些重要的指标，如在损失制或系统容量有限的情况下，由于顾客被拒绝，而使服务系统受到损失的顾客损失率及服务强度等，也都是十分重要的数量指标。

（6）一些数量指标的常用记号

λ：单位时间顾客平均到达数，即顾客到达率
μ：单位时间平均服务的顾客数，即服务率
N(t)：时刻t系统中的顾客数，即队长
N_q(t)：时刻t系统中排队的顾客数，即排队长
T(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留时间
T_q(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的等待时间

这些随机变量的瞬时分布一般是很困难的。为了简便，并注意到相当一部分排队系统在运行了一定时间后，都会趋于一个平衡状态(或称平稳状态)。在平衡状态下，队长的分布、等待时间的分布和忙期的分布都和系统所处的时刻无关，而且系统的初始状态的影响也会消失。因此，我们主要讨论与系统所处时刻无关的性质，即统计平衡性质。

L_s或L：平均队长。即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值;
L_q：平均等待队长或队列长。即稳态系统任一时刻的等待服务的顾客数的期望值;
W或W_s：平均逗留时间。即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值;
W_q：平均等待时间。即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。
这四项主要性能指标(又称主要工作指标)的值越小，说明系统排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。

2.排队模型

（1）单服务台 泊松到达、负指数服务时间的排队模型（M/M/1）
（2）多服务台 泊松到达、负指数服务时间的排队模型（M/M/c）
（3）单服务台 泊松到达、任意服务时间的排队模型(M/G/1)
（4）单服务台 泊松到达、定长服务时间的排队模型(M/D/1)
（5）多服务台 泊松到达、任意服务时间的排队模型（M/G/c/0）->损失制
（6）顾客来源有限制的排队模型（M/M/1/∞/m）->顾客来源有限，即只有m个顾客

（1）单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型（M/M/1）

例题：

case1：提高服务率

case2：增加一个服务台，但仍然是M/M/1的模型，只不过是2个

（2）多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型（M/M/c）

这种排队模型我们记为M/M/c/∞/∞ ，这与前面的区别就在于服务台的数量为c。在M/M/c模型里，其到达过程为泊松流，每个服务台的服务时间分布为同样的负指数分布，排队的长度与顾客的来源都无限制，其排队规则为只排一个队，先到先服务，当其中一个服务台有空时，排在第一个的顾客就上去接受服务。

例题：M/M/2模型

与前面2个M/M/1的区别：服务台数量都是2；顾客到达率和服务率一样；但是2个M/M/1是排2队，M/M/2是排1队，M/M/2使得服务水平更高了。
排队系统的经济分析：

（3）单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型(M/G/1)

例题：

（4）单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型(M/D/1)

例题：

（5）多服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型（M/G/c/0）->损失制

这种排队模型是一种损失制的模型，它要解决的主要问题是在服务机构的空闲与顾客的流失之间找到平衡，找出最合适服务台数，使得该系统收益最大。
注:该排队模型不存在平均排队的顾客数L_q和顾客平均的排队等待时间W_q

例题：

（6）顾客来源有限制的排队模型（M/M/1/∞/m）->顾客来源有限，即只有m个顾客

例题：

3.排队系统的优化目标与最优化问题

以完全消除排队现象为研究目标是不现实的，那会造成服务人员和设施的严重浪费，但是设施的不足和低水平的服务，又将引起太多的等待，从而导致生产和社会性损失。

1. 从经济角度考虑，排队系统的费用应该包含以下两个方面：一个是服务费用，它是服务水平的递增函数;另一个是顾客等待的机会损失(费用)，它是服务水平的递减函数。两者的总和呈一条U形曲线。
2. 排队系统常见的优化问题在于：
   
   研究排队系统的根本目的在于： 以最少的设备得到最大的效益，或者说，在一定的服务质量的指标下要求机构最为经济。排队系统的最优化问题分为两大类:静态最优设计问题和动态最优控制问题。