浅谈WQS二分/凸优化算法

前置知识：只有二分

出处

论文：浅析一类二分方法

第一次出现在2012年的国集的作业中，推广是在2015年，又是一个发明于中国国家队/集训队的算法（不得不说，中国信息竞赛的发展推动世界科学进步

思想

基本

WQS二分，又叫凸优化，适用的问题有以下几个限制：

• 函数是个凸函数（斜率单增/单减）
• 可以较短时间内求出函数（显然也是个凸函数）的最值及最值点
• 限定k，求

先画图吧：

先用上凸函数分析，因为下凸同理。

由于题目有特殊性质：

可以较短时间内求出函数的最值及最值点

我们怎么利用它求得呢？

在时，我们可以把上图中的上凸包变个样：

我们发现，当时，最值点往右移，当时，最值点往左移，越大移动距离越大，具有单调性，

当我们把最值点移动到k时，就可以直接求得的值，再减去就是要求的答案。

于是该算法流程就出来了：二分出一个，使得的最值点等于k，然后求出对应最值-。

稍作扩展

上述情况其实并不多见，更多情况下并不是严格凸包，它是斜率单调不减/增的，也就是说，二分中最值点可能构成一个区间：

这种情况下，如果只求出区间中一个最值点，可能永远无法让其等于k。

想一想，我们其实只需要满足k在我们求得的最值区间中就可以了，这样求得的最值仍然等于，最后减去即可。

所以二分变为：二分出一个，使得的最值点区间的左端点不大于k且最靠近k，这样的区间保证可以包含k，然后求出对应最值-。

我们只需要保证仍然可以短时间内求出最值和最小的最值点即可。

一些例题

黑暗爆炸 2654

LibreOJ 2478

关于例题讲解就先咕着，读者可以看别人的题解