浅谈WQS二分/凸优化算法

前置知识:只有二分

出处

论文:浅析一类二分方法

第一次出现在2012年的国集的作业中,推广是在2015年,又是一个发明于中国国家队/集训队的算法(不得不说,中国信息竞赛的发展推动世界科学进步

思想

基本

WQS二分,又叫凸优化,适用的问题有以下几个限制:

  • 函数F(x)=f(x)是个凸函数(斜率单增/单减)
  • 可以较短时间内求出函数F(x)=f(x)+\lambda x , (\lambda \in \mathbb{R})(显然也是个凸函数)的最值及最值点
  • 限定k,求f(k)

先画图吧:

浅谈WQS二分/凸优化算法_第1张图片

先用上凸函数分析,因为下凸同理。

由于题目有特殊性质:

可以较短时间内求出函数F(x)=f(x)+\lambda x , (\lambda \in \mathbb{R})的最值及最值点

我们怎么利用它求得f(x)呢?

\lambda>0时,我们可以把上图中的上凸包变个样:

浅谈WQS二分/凸优化算法_第2张图片

我们发现,当\lambda>0时,最值点往右移,当\lambda<0时,最值点往左移,|\lambda|越大移动距离越大,具有单调性,

当我们把最值点移动到k时,就可以直接求得f(k)+\lambda k的值,再减去\lambda k就是要求的答案。

于是该算法流程就出来了:二分出一个\lambda,使得F(x)=f(x)+\lambda x的最值点等于k,然后求出对应最值-\lambda k

稍作扩展

上述情况其实并不多见,更多情况下f(x)并不是严格凸包,它是斜率单调不减/增的,也就是说,二分中最值点可能构成一个区间:

浅谈WQS二分/凸优化算法_第3张图片

这种情况下,如果只求出区间中一个最值点,可能永远无法让其等于k。

想一想,我们其实只需要满足k在我们求得的最值区间中就可以了,这样求得的最值仍然等于f(k)+\lambda k,最后减去\lambda k即可。

所以二分变为:二分出一个\lambda,使得F(x)=f(x)+\lambda x的最值点区间的左端点不大于k且最靠近k,这样的区间保证可以包含k,然后求出对应最值-\lambda k

我们只需要保证仍然可以短时间内求出最值和最小的最值点即可。

一些例题

黑暗爆炸 2654

LibreOJ 2478

关于例题讲解就先咕着,读者可以看别人的题解

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