高中奥数 2021-08-19

2021-08-19-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P013 例01）

如图,是边上一点且不为中点,、是延长线上不同的两点,与交于点,与交于点,.求证:不平行于.

图1

证明

由塞瓦定理,有

,(1)

其中为直线与直线交点;

,(2)

其中为直线与直线交点.

注意到、、共线于,假设,于是有

.(3)

由(1)、(2)、(3),或,结合有.因此.

回到第一个等式:,左边等于,但右边.矛盾!故假设不成立,即不可能平行于.

2021-08-19-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P014 例02）

如图,中,为线段上一点,满足,取边上点,边上点,连结、,满足,求证:、、三线共点

图2

证明

法一:

过作的平行线,并与延长线、延长线分别交于、,以及,则,结合,有为等腰三角形底边的中点,即,所以

.

由角元塞瓦定理的逆定理知、、三线共点.

法二:

设,则中,由正弦定理.

同理中,,由于,所以

,(1)

同理,中,

,(2)

由(1),(2),、、三线共点.

2021-08-19-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P015 例03）

如图,、、分别是的边、、内任意一点,,,分别为,,的重心.求证:,,三线共点的充要条件是,,三线共点.

图3

证明

由角元塞瓦定理知,,三线共点的充分必要条件为

,(*)

又注意到为重心,因此,即

由此可得

同理可知

,.

则(*)就等价于,由塞瓦定理,这,,三线共点.