(leetcode)no.1312 让字符串成为回文串的最少插入次数（动态规划做法）

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题目

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思路

（一）定义数组元素的含义

dp[i][j] 表示s[i..j]中最长回文子序列的长度

所以只有当i<=j时，dp数组中才有值。

（二）找出关系数组元素间的关系式

经过分析，可以分成三大类讨论

1.str[i,j]只有一个字符，即i==j。即其本身可以形成回文,即dp[i][j]=0

2.str[i,j] 有两个字符

2.1 当str[i]==str[j]，即两个字符相同时，dp[i][j]=0。

2.2 当str[i]!=str[j],即两个字符不同时，例如，AB，可以在前面加一个B，变成BAB，也可以在后面加一个A，变成ABA，即dp[i][j]=1。

3.str[i...j]有三个或者三个以上字符，属于一般的情况。

3.1  当str[i]==str[j]时，例如，ABDCA，只需要考虑BDC，也即要求dp[i][j],转化为求dp[i+1][j-1]，即转移方程：dp[i][j]=dp[i+1][j-1]。


3.2  当str[i]!=str[j]时，有两种方法使其变成回文。
	一种是先让str[i,j-1]变成回文，在i的左边添加str[j]，整体就会变成回文。
	例如ABECD，可以先考虑ABEC这部分。
	一个方案，ABECEBA，再在ABECEBA左边加上str[j],即D,变成了DABECEBAD；
	另外一种方案，同理，先让str[i+1,j]变成回文，BECDCEB，再在右边加上A，最终变成了整体回文ABECDCEBA。
	
	动态转移方程式：
	要想使str[i,j-1]变成回文，其最少的添加次数是dp[i][j-1]，再加上往左侧补的字符（往右加同理），最终应该是dp[i][j-1]+1。str[i+1,j]同理。
	所以，dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+1][j])+1

（三）找出初始值

• 当i == j时dp[i][j] = 0，这时候s[i..j]就是单个字符，本身就是回文串，不需要任何插入。

• len(str[i,j]) == 2时，

  • 当str[i]==str[j]，即两个字符相同时，dp[i][j]=0。

  • 当str[i]!=str[j],即两个字符不同时，例如，AB，可以在前面加一个B，变成BAB，也可以在后面加一个A，变成ABA，即dp[i][j]=1。

• 最终的答案是dp[0][n-1]（n是字符串s的长度）。

这里借用一下labuladong大佬的一张讲解图，我稍微补充了一下s[i] == s[j]的情况。

代码

public class Solution {
    public int minInsertions(String s) {
        int l = s.length();
        if (l <= 1) {
            return 0;
        }

        int[][] dp = new int[l][l];
//        for(int i=0; i<=l-1;i++){
//            dp[i][i] = 0;
//        }
        // 从下往上
        for (int i = l - 2; i >= 0; i--) {
            // 从左到右
            for (int j = i + 1; j <= l - 1; j++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }

        // 根据 dp 数组的定义，题目要求的答案
        return dp[0][l - 1];

    }
}

参考资料

labuladong大佬的算法讲解很到位，关注一下，offer手到擒来。