树状数组原理解析
我们知道，对长度为n的数组，如果我们要改变其中某个值，则时间复杂度为O(1)。如果要求出S[m]=a[1]+a[2]+.....+a[m]，则需要O(m)的时间复杂度。若我们一边修改数组的值，一边要求求出其部分和S[m]，使用一般的方法，时间复杂度是O(m*n)的，若m和查找次数n很大，那么该算法将不可取。
为了解决这个问题，出现了树状数组这一数据结构。它可以以O(log n)的时间复杂度修改数组中的值，同时以O(log n)的时间复杂度求部分和。这里的log是以2为底的。
1、基本结构
树状数组可以简单地用下面的图理解：
C[1]=A[1]
C[2]=A[1]+A[2]
C[3]=A[3]
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]
……
可以看到，C[1]“管辖”一个元素，而C[2],C[6]“管辖”2个元素，C[8]“管辖”8个元素。那么C[N]“管辖”多少个元素呢？在树状数组中，这是个重要的概念。我们规定，把N转换为二进制，最右侧0的个数为k，则它管辖的元素个数就是2^k个。如2的二进制位10,2^1=2。4的二进制为100，2^2=4。定义函数lowbit(N)=2^k。那么C[N]管辖了lowbit[N]个元素。根据这样的定义，你就可以自己画出更大范围的树状数组了。
2、树状数组的求和过程及其原理
假设C数组已经初始化好了。如何利用它来求和呢？
举个例子。
我们要求S[6]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]
先令S=C[6]=A[5]+A[6]，注意到lowbit(6)=2，现在的S中只有两个数的和。所以我们还求6-lowbit(6)=4个数的和。这时找到C[4]，S=S+C[4]，lowbit(4)=4。这时我们已经求了2+4=6个数的和了，所以S就是答案。
可能上面的过程表达的还是不太清楚。我们用一个程序段来更好地表达这个过程：
int sum(int k){
int s=0;
for (int i=k;i>=1;i-=lowbit(i))
s+=c[i];
return s;
}在上述程序段中，我们要求S[k]，先让i=k;s+=c[i]，之后每次让i=i-lowbit(i)，s+=c[i]，直到到最开头做完为止。
为什么可以这样做？且为什么这样做的复杂度是log级别的？下面再深入解释下原理：
注意观察，其实每次每次让i=i-lowbit(i)，都减去了i二进制中最右边的一个1！而i的二进制中最多有log i个1，因此时间复杂度是log级的。
这样做的正确性在于：把求S[k]转换成求几段和的累加，而“分段”是以k的二进制中的1来决定的。
听起来有点拗口，我们还是用一个具体的例子解释。
比如求S[105]，105的二进制是1101001。首先S+=C[105]，注意到lowbit(105)=1，这样就减去了1101001中最右边的1。1101001-1=1101000。1101000是104的二进制。下面S+=C[104]，lowbit(104)=8,104-8=96。96的二进制是1100000。这就减去了右边第二个1。下面S+=C[96],lowbit(96)=32,96-32=64.64的二进制是1000000，这就减去了右边第三个1。最后S+=C[32]结束。
整个求和过程i的变化就是1101001->1101000->1100000->1000000->0.
初始化C数组有两种方法。
一种是利用sum函数，C[N]=A[N]+Sum(N-1)-Sum(N-lowbit(N))，这很好理解。
还有一种是利用以下的程序段：
void init(){
for (int i=1;i<=n;i++){
c[i]=a[i];
for(int j=i-1;j>i-lowbit(i);j-=lowbit(j))
c[i]+=c[j];//注意，这里是加c[j]而不是a[j]
}
}这个程序段和上面的思路类似，读者可自行分析其正确性。
4、树状数组对值的修改。
若修改数组中的一个值，则C数组需要做相应修改。我们每次往上找父节点就行了，时间复杂度也是log级的。
参考程序段：
void modify(int x,int v){
for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=v;
}5、其他
注意写树状数组的时候，最好把数组下标定为1..N，而不是0..N-1，这样有利于编程方便！
6、参考程序
#include
#include
int n,a[10001],c[10001],m,t,x,y,v;
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
int sum(int k){
int s=0;
for (int i=k;i>=1;i-=lowbit(i))
s+=c[i];
return s;
}
void modify(int x,int v){
for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=v;
}
void init(){
for (int i=1;i<=n;i++){
c[i]=a[i];
for(int j=i-1;j>i-lowbit(i);j-=lowbit(j))
c[i]+=c[j];//注意，这里是加c[j]而不是a[j]
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
a[0]=0;c[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
init();
for (int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d",&t);
if (t==1){
scanf("%d%d",&x,&v);
modify(x,v);
}else{
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",sum(y)-sum(x-1));
}
}
return 0;
}