【C++题解】走楼梯问题综合

1.基础版

$Part$ $1$ 读题

题目描述

楼梯有$N$级台阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。编写程序，计算共有多少种不同走法？

输入格式

整数$N$（$N\le 50$）

输出格式

输出方案总数

输入样例

3

输出样例

3

数据范围与提示

$N\le 50$

$Part$ $2$ 思路

看到题目，大家可能一头雾水，我们先举例分析一下：

当$N=1$时，共有$1$种，是：$1$

当$N=2$时，共有$1$种，是：$2$

当$N=3$时，共有$3$种，分别是：$（1+1+1）$$（1+2）$$（2+1）$

当$N=4$时，共有$5$种，分别是：$（1+1+1+1）$ $（1+1+2）$$（1+2+1）$$（2+1+1）$$（2+2）$

由此，我们发现，最终答案是根据斐波那契数列，对应n的值即可

小tip：大家可以先根据思路，写一下代码哦！

$Part$ $3$ 代码

方法1：无函数

#include
using namespace std;
int main(){
	long long x,a1=0,a2=1,a3;
	cin>>x;
	for(int i=1;i<=x;i++){
		a3=a1+a2;
		a1=a2;
		a2=a3;
	}
	cout<<a3;
	return 0;
}

方法2：有函数

#include
using namespace std;
void wk(int x){
	int a1=0,a2=1,a3;
	for(int i=1;i<=x;i++){
		a3=a1+a2;
		a1=a2;
		a2=a3;
	}
	cout<<a3;
}
int main(){
	long long x;
	cin>>x;
	wk(x);
	return 0;
}

2.进阶版

$Part$ $1$ 读题

题目描述

下头男$why$正在准备体育考试，他为跳远感到忧愁。体育老师$wgy$建议他每天跳$N$级台阶，锻炼爆发力。为了增加“娇喘”之力，下头男$why$给自己制定了一项规则：

当他跳到偶数级台阶时，他可以跳$2$级或$3$级；

当他跳到奇数级台阶时，他可以跳$1$级或$4$级。

你需要求：若刚开始时他处在$0$级（属于偶数），他跳到$N$级的方法数量是多少。

输入格式

整数$N$

输出格式

输出数量总数（最终结果需模$1\times 10^9+7$）

输入样例

9

输出样例

4

数据范围与提示

对于$20\%$的数据$N\le 10$

对于$80\%$的数据$N\le 1\times 10^6$

对于$100\%$的数据$N\le 5\times 10^7$

$Part$ $2$ 思路

根据题意，我们可算出：$a[0]=0$ $a[2]=1$ $a[3]=1$（这是特殊情况）

所以循环从4开始，直到$N$结束，然后要对i进行判断

$1.i$是偶数：$i$是由$i-2$和$i-3$级阶梯转移过来的，根据加法原理，可得递推式：$f(i)=f(i-2)+f(i-3)(i\%2==0)$

$2.$同理，当$i$是奇数时，可得到递推式：$f(i)=f(i-1)+f(i-4)$

为了方便枚举，我们可以选择从$0$开始累加，故可以得到以下两个式子：

$f[i+1]+=f[i+4]+=fi$

$f[i+2]+=f[i+3]+=fi$

$Part$ $3$ 代码

#include
#define mod 1000000007
using namespace std;
int f[50000010],n;
int main(){
    f[0]=1;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        if(i%2==0){
            f[i+2]=(f[i+2]+f[i])%mod;
            f[i+3]=(f[i+3]+f[i])%mod;
        }
        if(i%2==1){
            f[i+1]=(f[i+1]+f[i])%mod;
            f[i+4]=(f[i+4]+f[i])%mod;
        }
    }
    cout<<f[n]%mod;
    return 0;
}

3.高阶版

$Part$ $1$ 读题

题目描述

$tywz$的同学都是具有拼搏精神和团队精神的，通过不断的努力，下头男$why$进入了$tywz$信竞团队，在知行楼$5$楼有一个神秘宝座，要到达宝座需要爬数级台阶，只见有一个$N$级台阶，编号$0$-$N$，他们现在在台阶下面（姑且认为为第$0$级），而宝座就在顶端（第$N$级），正当大家准备冲上楼梯时——

下头男$why$：“慢着，楼梯上有炸弹！！！”

你：“什么？$w\ast f$！！！”

只见台阶上有$m$个$sa$炸弹，安在$m$个不同台阶上，如果你踩到安有炸弹的台阶，你就真成$sa$了。爬楼梯的时候一次只能爬$1$、$2$级或$3$级台阶。

“好吧，让我们算算走上楼梯且没踩到$sa$炸弹的方案总数吧！”

输入格式

第一行 两个整数 $N$，$M$。$M<N<1000$

第二行 $m$个整数，第$i$个整数为第$i$个炸弹所在台阶编号$Bi$

输出格式

走上台阶且没被炸成$sa$的方案总数，由于结果可能过大，输出结果对$12580$取模。

如果变成$sa$（非神犇）为必然事件输出$-1$。

输入样例

5 1
4

输出样例

6

样例说明

样例路线：
$0->1->2->3->5$

$0->2->3->5$

$0->1->3->5$

$0->3->5$

$0->2->5$

$0->1->2->5$

数据范围与提示

对于$30\%$的数据 ：$M=0$；

对于$40\%$的数据 ：$N\le 20$，$M\le 10$；

对于$80\%$的数据 ：$N\le 100$，$M\le 50$；

对于$100\%$的数据 ：$N\le 1000$，$M\le 300$，$0\le Bi\le N$；

$Part$ $2$ 思路

定义数组$f$，$f[i]$表示到达第$i$个台阶的方案数，可推出公式$f[i]=f[i-1]+f[i-2]+f[i-3]$，最终答案为$f[n]$。

但是要注意！！！

有一些台阶不可以踩，我们需要标记这些台阶（代码中的数组$b$），同时要把到达这些台阶的方案数清零。

$Part$ $3$ 代码

#include
using namespace std;
int a[1005],n,m,x;
bool b[1005];
int main(){
	cin>>m>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>x;
		b[x]=1;
	}
	if(b[0]==1)a[0]=0;
	else a[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)if(!b[i])for(int j=max(0,i-3);j<i;j++)a[i]=(a[i]+a[j])%12580;
	if(a[m]==0)a[m]=-1;
	cout<<a[m];
	return 0;
}

4.推广版

$Part$ $1$ 读题

题目描述

从原点出发，一步只能向右走、向上走或向左走。恰好走$N$步且不经过已走的点共有多少种走法？

输入格式

读入一个数$N$（$1\le N\le 1000$）。

输出格式

输出数量总数（最终结果需模$12345$）

输入样例

2

输出样例

7

数据范围与提示

$1\le N\le 1000$

$Part$ $2$ 思路

设$f[i]$表示走$i$步的方案。那么递推式就等于：$f[i]=f[i].上+f[i].左+f[i].右$

$f[i].上$（第$i$步向上的方案数）就等于$f[i-1]$，因为上一步的每一种方案都可以向上走.

$f[i].左$（第$i$步向左的方案数）就等于$f[i-1].上+f[i-1].左$,因为不能走已走的点，所以$f[i].右$要排除.

$f[i].右$（第$i$步向右的方案数）就等于$f[i-1].上+f[i-1].右$，因为不能走已走的点，所以$f[i].左$要排除。

故可得：

f[i]=f[i-1]+f[i-1].上+f[i-1].上+f[i-1].左+f[i-1].右
    =f[i-1]+f[i-1].上+(f[i-1].上+f[i-1].左+f[i-1].右)
    =f[i-1]+f[i-1]+f[i-1].上
    =2*f[i-1]+f[i-2]

$Part$ $3$ 代码

#include
using namespace std;
int n,f[1010];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	f[0]=1,f[1]=3;
	for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=(f[i-1]*2+f[i-2])%12345;
	printf("%d",f[n]%12345);
	return 0;
}

5.总结

走楼梯是递推算法运用的最好练习题，请大家根据每一题的思路，编写代码。

虽然思路不难，但是考察思维。

听完后，是不是觉得很简单呢？赶快自己去试一下吧！！！