快排&超详细，Leetcode排序数组题目带你升华掌握
大家好，这里是Dark FalmeMater。
这篇文章我将超级仔细地讲解快速排序，快排之所以叫快排，到底有多快，为什么这么快，还有快速排序的优化和改进，通过这篇文章你一定会对快排有进一步的掌握。
文章目录
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- Hoare版
- 挖坑法
- 双指针法
- 递归函数
- 时间复杂度与空间复杂度
- 优化
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- **三数取中**
- 三路分化
- 小区间优化
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快排的历史及介绍
快速排序由C. A. R. Hoare在1962年提出。
它的基本思想是:通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归 进行，以此达到整个数据变成有序序列。
其中Hoare大佬写的版本由于没有那么容易理解且容易出现错误，在后人的智慧下，进行了小小的改变，分化出了挖坑法和双指针法。我们逐个进行讲解。
Hoare版
递归函数分析思路如下
在数组中选定一个关键的点，最右边或者最右边都可以。
我们选择最左边进行讲解，找到关键位置后设置left和rght然后分别从数组左边和最右边开始遍历，右边先行，找到小于key位置的值就停下了，左边的找大于key位置的值，找到后就互换，直到左下标和右下标相遇，相遇的时候说明左边已经没有大于key位置的值了，右边没有小于key位置的值了，交换相遇位置的值和key位置的值，就可以将该组数分割成以key位置的值分割的两组数。
有了思路我们可以写出以下的代码：
//hoare版本
int PartSort1(int* a, int left, int right)
{
int key = a[left];//设置关键点
while (left < right)
{
while (a[right] > a[keyi])//从最右边开始找到大于关键点的坐标
{
--right;
}
//找大
while (a[left] < a[keyi])//从左边开始找到小于key的坐标
{
++left;
}
Swap(&a[left], &a[right]);//交换
}
Swap(key, &a[left]);//当left相遇，就交换关键点和相遇点的值
return left;返回相遇点的坐标
}
Hoare版解答疑惑及易错点指出：
- key的选择
之所以选择最左边的位置设置key，是因为利用这个值在写代码和进行判断时更方便一些，利用right位置的值当做key当然也可以，如果用递归函数传参数组的第二个元素做key，在递归到每个小区间只有一个数时就会出现错误，因为没有key。
- 相遇节点为什么可以和key位置的互换呢？为什么相遇点的数值一定会比key位置的值小呢？
大家可以思考一下…
这就要看左右指针谁先行了，如动图所示
如果是right先行，会发生什么呢？其实除了最后left和right相遇，其他的都是一样，如果是right先行的话。
在循环判断中右边先行是一定要注意的。
还有吗？
还有呢。
判断条件怎么写呢？判断条件是大于交换还是大于等于（相对left而言）交换呢？如果是left位置的值大于key的话，就交换有可能会发生森么情况呢？
看这个图，在交换了组边的6和右边的2之后，right开始–，因为判断条件是a[right]>key,所以当right找到5时，5=key，right就跳出了循环。同理，因为不满足left下标的值小于key，left跳出循环，交换以left为下标和以right为下标的值，交换的还是5和5，再次循环，判断left
看动图
判断条件也要注意，这种情况很难想到，所以有时运行错误不知道问题出在哪里
更改上边问题，将判断条件改为a[right] >= key和a[left] <= a[keyi]
思考了这么多，终于找到相遇的点后交换key和a[left]（a[left]都可以），就可以将这个数组分为两个大小不同的的区间啦！
真的吗？
前边初始化key=a[left]，交换key和遍历后的a[left]，然而a[0]并没有和找到的值进行交换，而是key这个数和找到的相遇点交换，这个时候a[left]就没有改变为相遇点找到的小于key的值，如果一直递归下去，会变成什么样呢？（上边动图部分，key改成a[left]）
再来看排序该组数据
如果是创建的key和找到的点进行交换，就会出现数据污染，好多数据都被更改了，这样的排序一定是错误的，所以初始化条件可以这样。
int keyi=left;
int key=a[keyi]
在判断时利用key，在交换时交换a[keyi]和a[left]即可。
终于结束啦，然而并没有。
要注意的是在right和left找的过程中left也不能小于right，比如该数组是有序的，在排序的过程中，right先行，但是一直没有找到小于a[keyi]的值，直到到达left的位置再次减一，就会越界访问。
完整代码如下
//hoare版本
int PartSort1(int* a, int left, int right)
{
//int midi=GetMidi(a,left,right)
//Swap(&a[left[,&a[midi]);
int keyi = left;
while (left < right)
{
while (left < right && a[right] >= a[keyi])
{
--right;
}
//找大
while (left < right && a[left] <= a[keyi])
{
++left;
}
Swap(&a[left], &a[right]);
}
Swap(&a[keyi], &a[left]);
return left;
}
是不是细节满满，一不小心就会出来好多bug。
挖坑法
同样先看图
挖坑法相较于Hoare大佬的方法，步骤更加清晰明了一点，一步一步实现
上边的动图表现得十分清晰，设置一个坑位，保存left位置的值，设置hole变量等于left，然后从右边找小于a[keyi]即上图key的值，填入坑中，这时将找到的值的位置right设置为坑，然后从左往右找大于a[keyi]的值填入hole，将left所在位置设置为hole，不断循环，直到left等于right，将之前保存的key，即a[keyi]填进坑里，就完成了前边相同的操作。
代码如下，很容易理解
//挖坑法
int PartSort2(int* a, int left, int right)
{
int key = a[left];
//保存key值以后。左边形成一个坑
int hole = left;
while (left < right)
{
while (left < right && a[right] >= key)
{
--right;
}
a[hole] = a[right];
hole = right;
//左边再走，找大，填到右边的坑，左边重新形成新的坑位
while (left < right && a[left] <= key)
{
++left;
}
a[hole] = a[left];
hole = left;
}
a[hole] = key;
return hole;
}
最后返回right,left,hole都可以，反正最后他们在同一个位置上。
双指针法
看几遍动图，不管他们用什么方法进行实现，最终实现的效果都是相同的。双指针法只要懂得了原理，还是很容易实现的。
双指针法和前边两种方法略有不同，来体验一下。先看代码后进行讲解
//前后指针法
int PartSort3(int* a, int left, int right)
{
int midi = GetMidi(a, left, right);
Swap(&a[left], &a[midi]);
int prev = left;
int cur = prev + 1;
int keyi = left;
while (cur <= right)
{
if (a[cur] < a[keyi])
{
++prev;
if (prev != cur)
{
Swap(&a[prev], &a[cur]);
}
}
++cur;
}
Swap(&a[prev], &a[keyi]);
return prev;
}
还是一样选择left位置的值作为key，设置两个指针，一个指向数组最前边的位置，一个在他的后边，前后指针法因此得名。
具体思路：
设置前后指针，后边的指针只要不越界访问，cur就一直往后走，如果prev的下一个位置不是cur，且cur找到小于key的值时，就交换prev位置和cur位置的值。直到最后cur大于right结束循环。此时prev位置的值一定小于或等于key，因为cur在后边查找的过程中最不济的情况也就是一个也没找到，prev和他自己换，照样也不变，在找到第一个之前cur和prev一直一起移动并一直在cur的后一位，当cur找到大于key位置的坐标后，prev不动，cur继续移动，所以当cur找到小于key的位置时，prev的下一个位置一定是大于key的，可以放心交换。
直到最后cur走到数组尽头，就如前边所说，prev的下一位一定大于key，而prev位置的值一定小于等于key，交换a[prev]和a[keyi]的值，就可以将数组分成以prev位置为中心的两组，左边的值都小于等于key，右边的值都大于key。
循环有一种更简单的方法表示，效果相同
while (cur <= right)
{
if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur)
{
Swap(&a[prev], &a[cur]);
}
++cur;
}
&&操作符，当前一条件为假，后一条件就不走，如果前一条件为真后，才会走后一条件，然后prev才会++，与上边实现的效果相同。
递归函数
void QuickSort1(int* a, int begin, int end)
{
if (begin >= end)
{
return;
}
int keyi = PartSort1(a, begin, end);
QuickSort1(a, begin, keyi - 1);
QuickSort1(a, keyi + 1, end);
}
begin和end是传进来的数组段的第一个位置和最后一个位置的下标。要注意接下来的递归数组的区间还有结束判断条件。
举一个例子说明递归流程。
递归结束后，数组就变为有序的了。至于先往右递归还是先往左都可以，没有区别。
上边递归时用的Hoare大佬的版本，用挖坑法和双指针法也都可以。
时间复杂度与空间复杂度
快排的时间复杂度为O(nlogN)，空间复杂度为O(N)，如果情况比较好的话为O(log2n)，空间是可以复用的，一边用完另一边还可以用。
时间复杂度最坏的情况是若该数组为有序数组。最好情况就是一直取到中间位置。
最坏情况：
若数组数量为n，一次只排好了一个数据，right第一次跑n次，第二次跑n-1次，则时间复杂度明显为O（n^2)。
假使每次都能找到中间值，此时时间复杂度最低。2^h=n,所以n=log2 ^n。
最好情况时间复杂度为O(nlogn)。
至于空间复杂度从上边的图就可以看出，因为递归开辟的空间是在栈上的，每次开辟的空间都可知小于n,故每次递归开辟空间为O(1)，所以快排的时间复杂度为递归深度乘于O(1)，最坏情况为O(N)，最好的情况为O(logN)。
优化
借助题目：排序数组
给一个数组，要求给他排序，要求很简单，却只有50%的通过率，力扣标记简单不一定简单，标记中等那一定是有点难。
这题很显然，普通的排序比如冒泡排序，插入排序，选择排序是过不了的，我们刚刚学习了快排，何不尝试一波。
void Swap(int* x, int* y)
{
int tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
void QuickSort1(int* a, int begin, int end)
{
if (begin >= end)
{
return;
}
int keyi = PartSort1(a, begin, end);
QuickSort1(a, begin, keyi - 1);
QuickSort1(a, keyi + 1, end);
}
//hoare版本
int PartSort1(int* a, int left, int right)
{
int keyi = left;
while (left < right)
{
while (left < right && a[right] >= a[keyi])
{
--right;
}
//找大
while (left < right && a[left] <= a[keyi])
{
++left;
}
Swap(&a[left], &a[right]);
}
Swap(&a[keyi], &a[left]);
return left;
}
int* sortArray(int* nums, int numsSize, int* returnSize){
QuickSort1(nums, 0, numsSize-1);
*returnSize=numsSize;
return nums;
}
快排解题的代码如下
然而却发现
用hoare大佬的方法走一遍，发现时间复杂度在这组用例上为O(N^2)，right一直向右移，不会分成左右两组，一直递归n次，right向前的次数从n到1，这样的话花费的时间太多了，针对这种情况进行优化，就要介绍三数取中。
三数取中
如何防止上面最坏的情况发生？
只需要防止最左边的数为该组数里最小的数即可。
可以找出left位置的值和right位置的值及（left+right)/2数组中间下标的值，找出他们三个中间大小的一个，与a[left]进行交换，这样就可以防止left是数组中最小的元素这种情况的发生。
将三数取中抽离成函数
//三数取中
int GetMidi(int* a, int left, int right)
{
int mid = (left + right) / 2;
//left mid right
if (a[left] < a[mid])
{
if (a[mid] < a[right])
{
return mid;
}
else if (a[left] > a[right])
{
return left;
}
else
{
return right;
}
}
else
{
if (a[mid] > a[right])
{
return mid;
}
else if (a[left] > a[right])
{
return left;
}
else
{
return right;
}
}
}
在每次partsort前搞来中间值的坐标，与left进行交换
int midi=GetMidi(a,left,right)
Swap(&a[left[,&a[midi]);
加上三数取中再次运行
然而。。。。
再次出乎意料，如果是全部数字都一样或者有大量重复数据，right还是像刚才有序数组的情况一样，right一直向左，时间复杂度为O(N^2)，此时三数取中也没用了，无论怎么取，取到的都是2。针对这种情况怎么办？
三路分化
将hoare大佬的方法和双指针法结合起来，将数组分为三个部分，左边小于key，中间的区段是等于key的，右边的部分是大于key的。
设置三个指针，两个指针用于位置的交换是数组划分为三个区间，一个指针用于遍历。
看思路
最后在left和right之间的部分就是等于5的部分，left之前皆小于key，right之后皆大于key。
总结下来只有以下三种情况
- cur的值小于key，交换cur的值和left的值，cur++,left++。
- cur的值等于key，直接++cur
- cur的值大于key，交换cur和right的值，cur不能动。
代码实现
void QuickSort1(int* a, int left, int right)
{
if (left >= right)
{
return;
}
int begin = left;//记录左右边界
int end = right;
int midi = GetMidi(a, left, right);
Swap(&a[left], &a[midi]);
int key = a[left];
int cur = left + 1;
while (cur <= right)
{
if (a[cur] < key)//重点理解
{
Swap(&a[cur], &a[left]);
++left;
++cur;
}
else if (a[cur] > key)
{
Swap(&a[cur], &a[right]);
}
else
{
++cur;
}
}
QuickSort1(a, begin, left-1);
QuickSort1(a, right+1, end);
}
这次我们信心满满，如果数组的元素全部为2的话，遍历一遍，right和left直接相遇，甚至只需要O(N)的时间就可以完成。
更改代码后运行。
还是超出时间限制，这又是为什么呢？这道题对快速排序做了针对性的处理，普通的快排很难过这道题，他会检测我们的三数取中，然后搞出对应的一串数字，让每次取出的数都是数组中倒数第二大，这样的话时间复杂度还是很大。
解决方法：
选取数组中任意位置的数和left位置和right作比较选出keyi，而不是一直取中间坐标与他们相比较，用rand函数进行操作，使我们选数位置没有规律可循，这样编译器就不能根据我们所写的代码搞出针对性用例。
代码如下：
int GetMidi(int* a, int left, int right)
{
//int mid = (left + right) / 2;
int mid =left+(rand()%(right-left));
//left mid right
if (a[left] < a[mid])
{
if (a[mid] < a[right])
{
return mid;
}
else if (a[left] > a[right])
{
return left;
}
else
{
return right;
}
}
else
{
if (a[mid] > a[right])
{
return mid;
}
else if (a[left] > a[right])
{
return left;
}
else
{
return right;
}
}
}
void Swap(int* x, int* y)
{
int tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
void QuickSort1(int* a, int left, int right)
{
if (left >= right)
{
return;
}
int begin = left;//记录左右边界
int end = right;
int midi = GetMidi(a, left, right);
Swap(&a[left], &a[midi]);
int key = a[left];
int cur = left + 1;
while (cur <= right)
{
if (a[cur] < key)
{
Swap(&a[cur], &a[left]);
++left;
++cur;
}
else if (a[cur] > key)
{
Swap(&a[cur], &a[right]);
--right;
}
else
{
++cur;
}
}
QuickSort1(a, begin, left-1);
QuickSort1(a, right+1, end);
}
int* sortArray(int* nums, int numsSize, int* returnSize){
srand(time(NULL));
QuickSort1(nums, 0, numsSize-1);
*returnSize=numsSize;
return nums;
}
运行后如图
可以发现所用时间还是很长，这道题如果用堆排序和shell排序都是很好过的，放在这里是为了提升我们对快排的理解和掌握。
小区间优化
在上边显示递归流程的图中，我们可以看到递归的过程，类比树的结构，树的每一个节点都是一次递归，树的最后一排的节点个数占全部节点的50%，倒数第二行占总个数的25%，如果分成的数组的量的变小到一定的个数的时候可以不再使用递归，而是选择其他的方法进行排序，可以减少大量的递归次数。
这种方法叫做小区间优化，使用什么排序比较好呢？冒泡排序和选择排序的时间复杂度为O（N²），选择排序的时间复杂度最高为O（N²），可以使用选择排序进行小区间优化，从而减少大量的递归次数
插入排序及小区间优化后的代码如下
//插入排序
void InsertSort(int* a, int n)
{
//[0,end]有序，把end+1的位置插入到前序序列
//控制[0,end+1]有序
for (int i = 0; i < n - 1; i++)
{
int end = i;
int tmp = a[end + 1];
while (end >= 0)
{
if (tmp < a[end])
{
a[end + 1] = a[end];
}
else
{
break;
}-+
--end;
}
a[end + 1] = tmp;
}
}
//加上小区间优化
void QuickSort2(int* a, int begin, int end)
{
if (begin >= end)
{
return;
}
if ((end - begin + 1) > 10)//如果一个数组的元素小于10，就进行插入排序
{
int keyi = PartSort2(a, begin, end);
QuickSort2(a, begin, keyi - 1);
QuickSort2(a, keyi + 1, end);
}
else
{
InsertSort(a + begin, end - begin + 1);
}
}
//加上小区间优化
void QuickSort2(int* a, int begin, int end)
{
if (begin >= end)
{
return;
}
if ((end - begin + 1) > 10)
{
int keyi = PartSort2(a, begin, end);
QuickSort2(a, begin, keyi - 1);
QuickSort2(a, keyi + 1, end);
}
else
{
InsertSort(a + begin, end - begin + 1);
}
}
快排非递归版
复习一下：它的基本思想是:通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归 进行，以此达到整个数据变成有序序列。
将一整个数组不断细分，在不断划分的过程中进行有序化，最终完成排序的功能。在前边partsort函数中，我们只要通过某种方法得到分成一组一组的小数组段的left和right即可。
上边的说明递归的流程图是直接全部展开的，实际上是一直向左划分，直到分出的数组left和right相等，然后回到上步。
如图所示
结合代码就很容易明白。
在非递归版本我们想和递归的步骤相同，如何得到上述递归过程中的left和right?这是问题之所在，而且在递归过程中向partsort1传入不同的left和right。
可以借助栈先进先出的功能来实现，push起始的left和right，进行第一次partsort，知道了left和right后，将他们再pop掉。
void QuickSortNonR(int* a, int begin, int end)
{
ST st;
STInit(&st);
STPush(&st, end);
STPush(&st, begin);
while (!STEmpty(&st))
{
int left = STTop(&st);
STPop(&st);
int right = STTop(&st);
STPop(&st);
int keyi = PartSort1(a, left, right);
if (keyi + 1 < right)
{
STPush(&st, right);
STPush(&st, keyi + 1);
}
if (left < keyi - 1)
{
STPush(&st, keyi - 1);
STPush(&st, left);
}
}
STDestroy(&st);
}
快排讲到这里就结束啦，如果你有耐心看完的话你一定会对快排的掌握有所提升哒。
加油！