UCAS - AI学院 - 自然语言处理专项课 - 第6讲 - 课程笔记

隐马尔可夫模型与条件随机场

马尔可夫模型

• 马尔可夫模型描述：如果一个系统有$N$个状态$S_i$，随着时间的推移，该系统从某一个状态转移到另一个状态。如果$t$时刻的状态变量为$q_t$，则$t$时刻状态值为$S_j$的概率取决于前面所有时刻的状态，即$p(q_t=S_j|q_{t-1}=S_i,\dots )$
• 离散一阶马尔可夫链：$t$时刻状态只与$t-1$时刻状态有关，即$p(q_t=S_j|q_{t-1}=S_i)$
• 马尔可夫模型：满足不动性假设，状态与时间无关（但是与前一时刻状态有关），$p(q_t=S_j|q_{t-1}=S_i,\dots )=a_{ij}$
• 状态转移概率约束条件
  • $a_{ij}\ge 0$
  • ${\sum }_j{a}_{ij}=1$
• 可以把马尔可夫模型视为随机的有限状态自动机，状态转换对应一个相应的概率
• 计算一个状态序列的概率：

$$\begin{array}{rl}p(S_1,\dots ,S_T)& =p(S_1)\cdot p(S_2|S_1)\cdot p(S_3|S_1,S_2)\cdot \dots \cdot p(S_T|S_1,\dots ,S_{T-1})\\ & =p(S_1)\cdot p(S_2|S_1)\cdot p(S_3|S_2)\cdot \dots \cdot p(S_T|S_{T-1})\\ & ={\pi }_{S_1}\prod _{t=1}^{T-1}{a}_{S_t{S}_{t+1}}\end{array}$$

隐马尔可夫模型

• 双重随机过程，不知道具体状态序列，只知道状态转移的概率，可观察事件的随机过程是隐蔽状态转换过程的随机函数
• HMM组成
  • 模型中状态数为$N$
  • 每一个状态可能输出的符号数$M$
  • 状态转移概率矩阵$A$，$a_{ij}=p(q_{t+1}=S_j|q_t=S_i)$
  • 状态到输出概率矩阵$B$，$b_j(k)=p(O_t=v_k|q_t=S_j)$
  • 初始概率分布$\pi$，${\pi }_i=p(q_1=S_i)$
  • 记为五元组$(N,M,A,B,\pi )$
• 从HMM到观察序列：开始状态——状态转移——输出——状态转移
• 给定HMM和观察序列，求序列概率$p(O|\mu )$
  • 前向算法
    • 定义前向变量${\alpha }_t(i)=P(O_1\dots O_t,q_t=S_i|\mu )$
    • ${\alpha }_1(i)={\pi }_i{b}_i(O_1)$
    • ${\alpha }_{t+1}(j)=[{\sum }_i{\alpha }_t(i)\cdot a_{ij}]\cdot b_j(O_{t+1})$
    • $p(O|\mu )={\sum }_i{\alpha }_T(i)$
    • 时间复杂度$O(N^{2}T)$
  • 后向算法
    • 定义后向变量${\beta }_t(i)=p(O_{t+1}\dots O_T|q_t=S_i,\mu )$
    • ${\beta }_T(i)=1$
    • ${\beta }_t(i)={\sum }_j{a}_{ij}{b}_j(O_{t+1})\cdot {\beta }_{t+1}(j)$
    • $p(O|\mu )={\sum }_i{\beta }_1(i)\cdot {\pi }_i\cdot b_i(O_1)$
    • 时间复杂度$O(N^{2}T)$
• 给定HMM和观察序列，发现最优状态序列
  • 最优：每个时刻${\gamma }_t(i)=p(q_t=S_i|O,\mu )$最大的$q_t$
    • $p(q_t=S_i,O|\mu )={\alpha }_t(i){\beta }_t(i)$
    • $p(O|\mu )={\sum }_i{\alpha }_t(i){\beta }_t(i)$
    • ${\gamma }_t(i)=\frac{{\alpha }_t(i){\beta }_t(i)}{{\sum }_i{\alpha }_t(i){\beta }_t(i)}$
    • 最佳状态${\hat{q}}_t=\arg {\max }_i{\gamma }_t(i)$
    • 问题：单独状态最优不一定整个状态序列最优
  • 最优：最大概率的状态序列$Q=\arg {\max }_{Q}p(Q|O,\mu )$
    • Viterbi算法，${\delta }_t(i)=\max p(q_1\dots q_t=S_i,O_1\dots O_t|\mu )$，到达$S_i$，输出$O$的最大概率
    • ${\delta }_1(i)={\pi }_i{b}_i(O_1)$，路径变量${\Psi }_1(i)=0$
    • ${\delta }_{t+1}(i)={\max }_j[{\delta }_t(j)\cdot a_{ji}]\cdot b_i(O_{t+1})$，${\Psi }_{t+1}(i)=\arg {\max }_j[{\delta }_t(j)\cdot a_{ji}]\cdot b_i(O_{t+1})$
    • $Q_T=\arg {\max }_j{\delta }_t(j)$，$\hat{p}(Q_T)={\max }_j{\delta }_T(j)$
    • 时间复杂度$O(N^{2}T)$
    • 提升搜索速度，剪枝策略
      • 只选择大于某一阈值的$\delta$
      • 限制路径的个数（类似Beam Search）
    • 连乘溢出——取对数
• 给定观察序列，训练HMM参数，使得$p(Q|\mu )$最大——BW算法
  • 大量样本
    • ${\bar{\pi }}_i=\delta (q_1,S_i)$
    • ${\bar{a}}_{ij}=\frac{{\sum }_t\delta (q_t,S_i)\cdot \delta (q_{t+1},S_j)}{{\sum }_t\delta (q_t,S_i)}$
    • $\delta (x,y)$为Kronecker函数，只在$x=y$是取1，否则取0
    • ${\bar{b}}_j(k)=\frac{{\sum }_t\delta (q_t,S_j)\cdot \delta (O_t,v_k)}{{\sum }_t\delta (q_t,S_j)}$
  • 样本不足——EM算法
    • 满足非负和归一化性质的随机初始化
    • E步，计算期望
    • ${\xi }_t(i,j)=p(q_t=S_i,q_{t+1}=S_j|O,\mu )=\frac{p(q_t=S_i,q_{t+1}=S_j,O|\mu )}{p(O|\mu )}=\frac{{\alpha }_t(i)a_{ij}{b}_i(O_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)}{{\sum }_i{\sum }_j{\alpha }_t(i)a_{ij}{b}_i(O_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)}$
    • ${\gamma }_t(i)={\sum }_j{\xi }_t(i,j)$
    • M步，重新估计
    • ${\pi }_i={\gamma }_1(i)$
    • $a_{ij}=\frac{{\sum }_t{\xi }_t(i,j)}{{\gamma }_t(i)}$
    • $b_j(k)=\frac{{\sum }_t{\gamma }_t(j)\cdot \delta (O_t,v_k)}{{\sum }_t{\gamma }_t(j)}$
    • 小数溢出——放大系数

隐马尔可夫模型的应用

• 汉语自动分词和词性标注
  • 考虑的问题
    • HMM的状态、观察的数目
    • 参数估计
  • 思路
    • 汉语分词的结果作为观察序列$O=\arg {\max }_{O}p(O|\mu )$
    • 词性标注作为状态序列$Q=\arg {\max }_{Q}p(Q|O,\mu )$
  • 过程
    • 估计模型参数
    • 对于可能的输出序列，找到最大概率$p(O|\mu )$候选
    • 快速选择最优状态序列
  • 参数
    • 观察序列：单词序列
    • 状态序列：词类标记序列
    • 状态数目：词类标记符号个数
    • 输出符号数：每个状态可输出不同词汇的个数
  • 参数估计
    • 无任何语料：无指导学习方法
      • 获取词类个数
      • 获取对应每种词类的词汇数
      • EM迭代
    • 存在大规模语料：有指导学习方法
      • 最大似然估计
  • 获取观察序列
    • 借助其他分词工具获得nbest的可能切分
  • 错误驱动修正参数
    • 一部分语料——训练模型
    • 模型——标注一部分新的语料
    • 新的语料标注——人工校对
    • 校对好的语料——训练模型
    • [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-qDHqv4Uj-1587384099332)(assets/image-20200401014753740.png)]

条件随机场及其应用

• 基本思路：给定观察序列$X$，输出标识序列$Y$，通过计算$P(Y|X)$求解最优标注序列

• 定义：设无向图$G=(V,E)$，$V$中每个结点对应一个随机变量$Y_v$，其取值范围为集合$\{y\}$。如果以$X$为条件，每个随机变量都满足马尔可夫特性：

  • $$

$$

• 其中$w\sim v$表示二者邻近，那么$(X,Y)$就是一个条件随机场

• 序列问题就可以建模为简单的链式结构图，结点对应标记序列$Y$中的元素

• 理论上如果具备一定的条件独立性，图结构可以是任意的

• 相比于HMM，内结点并不生成外结点，而是对外结点的标记，且可以受任意邻近结点的影响

• 给定观察序列，特定标记序列的概率定义为：
  $$

p(Y|X) = \exp \left( \sum_j \lambda_j t_j(y_{i - 1}, y, X, i) + \sum_k \mu_k s_k (y_i, X, i) \right)
$$

• 其中
  • $t_j(y_{i-1},y,X,i)$为转移函数，$i$及$i-1$位置上的标记的转移概率
  • $s_k(y_i,X,i)$为状态函数，$i$位置上的标记概率
  • $\lambda$和$\mu$分别为权重
• 定义一组关于观察序列的二值特征$b(X,i)$，表示训练样本特征的分布，当$i$位置为某一特定词时记1，否则记0
• 对转移函数，如果$y_{i-1}$和$y_i$满足某种搭配条件，记$b(X,i)$，否则记0
• 状态函数改写$s_k(y_i,X,i)=s_k(y_{i-1},y_i,X,i)$
• 特征函数统一表示为$F_j(Y,X)={\sum }_i{f}_j(y_{i-1},y_i,X,i)$
  • 局部特征函数表示状态特征或转移函数
  • 概率形式$p(Y|X,\lambda )=\frac{1}{Z(X)}\exp ({\sum }_j{\lambda }_j{F}_j(Y,X))$——类似最大熵！
  • $Z(X)$是对$Y$的归一化因子
• 解决问题
  • 特征选取
  • 参数训练
  • 解码
• 应用：由字构词（基于字标注）的分词方法
  • 基本思想：字的分类，每个字在构词时由构词位置（词首B、词中M、词尾E、单独成词S）
  • 对所有子根据预定义特征进行词位特征学习，获得一个概率模型，在待切分串上，根据字间紧密程度，获得分类结果，最后根据词位定义直接获得最终的分词结果
  • 特征选择
    • 一元特征（状态函数）：当前字
    • 二元特征（转移函数）：前一个字到当前字
  • 参数训练
    • 使用训练语料训练权重，寻找标记序列，使$P(Y|X)$最大
    • BP？损失函数$L(\lambda )-\log p(Y|X,\lambda )+\frac{ϵ}{2}{\lambda }^2$
  • 解码
    • Viterbi算法，寻找最优路径
    • 路径得分
      • 一元特征权重$W$：$W_1^B$表示第1个字被标记为B的权重
      • 路径得分$R$：$R_2^B$表示第二个字被标记为B时的路径得分
      • 转移特征权重$T$：$T_{B}M$表示由B转移到M的权重
    • 迭代计算
      • $R_{i+1}^B=\max \{T_{EB}\times R_i^E,T_{SB}\times R_i^S\}\times W_{i+1}^B$
      • 以此类推
      • $W$包含当前状态特征以及前后的转移特征