Bellman-Ford算法(C/C++)

一: Bellman-Ford算法分析

 问题介绍：



 问题分析：
  1. 处理思路：
  因为有了负权边的加入所以显然Dijkstra算法是无法处理，并且有了边数的限制所以这个时候我们可以使用Bellman-ford算法来处理。
  算法的原理就是进行松弛操作，假如你一共想要最多走过k条边，那么外层循环就去循环k次，内层循环对边数进行一个循环。其原理为连续进行松弛，在每次松弛时把每条边都更新一下，若在 n-1 次松弛后还能更新，则说明图中有负环( 因为n个点所到达的最长路径也就是n-1条边，如果还可以优化那么显然是出现了负环 )，因此无法得出结果，否则就完成。
  这个操作是很简单可以理解的，因为我们初始默认了所有点的距离是无限大，然后进行松弛操作，显然只有通过源点(会设置为dis[ ] = 0 )进行k次松弛操作(相当于从源点最多走了k条边到达的距离)，若是从其他点进行的松弛操作因为本身就是无限大即使减小也依旧是个特别大的数值，远远没有从源点所带来减小的效果显著。
  2.算法关键 ：
  a. 判断是否到达的时候只需要判断是否大于一个很大的数值(inf /2 )：
  原因：正如之前所说的，松弛操作的进行可能的确会影响最终的距离，因为如果有负权边的存在其实第一次松弛操作就会影响这个边所到达点x，本身dis[x] = inf(无穷大) ，因为一次松弛可能使dis[x] = inf - 100这个样子，虽然减小但它其实依旧不可以到达，所以我们最终判断使用 dis[n] > inf / 2就可以了
  b. 使用新数组存储上次松弛结果再去松弛本次
  我们需要使用一个last[ ]数组来存储上一次松弛完了的结果，然后利用last[ ]再去松弛dis[ ]，因为如果你直接使用dis[ ]去进行松弛操作的话，有可能x被其他点进行了松弛操作，然后你再利用x松弛其他点，这其实就相当于一次性松弛了多次了和算法的原理就相背了。
  3.算法总结：
  a. 单源最短路+边权为负+边数限制问题: Bellman-ford算法
  b. 时间复杂度 O(nm)

二: 代码分析

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 510, M = 1e4 + 10, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, k, dis[N], last[N];
struct {
    int a, b, w;
}edge[M]; //使用结构体存储边

void bellman_ford(){
    dis[1]=0;//初始化操作
    //外层遍历次数+内层遍历边+使用last来存储上一次松弛完结果
    for(int i = 0; i < k; i ++ ){ 
        memcpy(last, dis, sizeof(dis) );
        for(int j = 0; j < m; j ++ ){
            int x = edge[j].a, y = edge[j].b, w = edge[j].w;
            dis[y] = min(dis[y], last[x] + w );
        }
    }
}

int main(){
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis) );
    
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 0; i < m; i ++ ){
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        edge[i]={x, y, z};
    }
    
    bellman_ford();
    
	 //判断不用判断inf，只需要判断inf / 2就可以认为不可到达了
    if(dis[n] > inf / 2 ) puts("impossible");
    else cout << dis[n] << endl;
    
}