Java实现之克鲁斯卡尔(Kruskal)算法
一.问题引入
1.问题引入
1)某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通
2)各个站点的距离用边线表示(权)，比如A-B距离12公里
3)问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
二.克鲁斯卡尔算法
1.基本介绍
1)克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
2)基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并确定这n-1条边不构成回路
3)具体做法:首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网
中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
2.思路分析
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
第一步:
第二步:
第三步:
第四步:
第五步:
第六步:
3.问题分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:
问题一:对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二:将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二的处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
4.判断构成回路图解
在将
(01)C的终点是F。
(02)D的终点是F。
(03)E的终点是F。
(04)F的终点是F。
关于终点的说明:
1)就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后;某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
2)因此，接下来，虽然
它们的终点相同，因此,将
5.代码实现
public class Kruskal {
public int edgeNum; //边的个数
public char[] vertex; //顶点数组
public int[][] matrix; //
public static void main(String[] args) {
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int[][] matrix = new int[][]{
{0, 12, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 16, 14},
{12, 0, 10, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 7, Integer.MAX_VALUE},
{Integer.MAX_VALUE, 10, 0, 3, 5, 6, Integer.MAX_VALUE},
{Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 3, 0, 4, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE},
{Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 5, 4, 0, 2, 8},
{16, 7, 6, Integer.MAX_VALUE, 2, 0, 9},
{14, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 8, 9, 0}};
Kruskal kruskal = new Kruskal(vertex, matrix);
kruskal.showGraph();
System.out.println(kruskal.edgeNum);
EdgeData[] edges = kruskal.getEdges();
kruskal.sortEdges(edges);
for (EdgeData edge : edges) {
System.out.println(edge);
}
System.out.println("------------------------");
kruskal.kruskal();
}
public Kruskal(char[] vertex, int[][] matrix) {
//初始化顶点数和边的个数
this.vertex = vertex;
this.matrix = matrix;
//统计边的条数
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {
if (matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE)
edgeNum++;
}
}
}
public void showGraph() {
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertex.length; j++) {
System.out.printf("%-12d", matrix[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
//对边进行排序处理
public void sortEdges(EdgeData[] edges) {
Arrays.sort(edges);
}
//返回顶点的下标,如'A'-->0,找不到返回-1
public int getPosition(char c) {
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
if (c == vertex[i]) {
return i;
}
}
return -1;
}
//获取到图中的边,放到EdgeData[]数组中,通过int[][] matrix获取
public EdgeData[] getEdges() {
int index = 0;
EdgeData[] edges = new EdgeData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {
if (matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE) {
edges[index++] = new EdgeData(vertex[i], vertex[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/**
* 功能:获取下标为i的顶点的终点,用于后面判断两个顶点的终点是否相等
*
* @param ends 数组记录了各个顶点的终点,ends数组是在遍历过程中逐渐形成的
* @param i
* @return 返回下标为i的终点
*/
public int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
//
public void kruskal() {
int index = 0;
int[] ends = new int[edgeNum];//表示已有生成树
//创建结果数组,保存最小生成树
ArrayList result = new ArrayList<>();
//获取图中所有边的集合
EdgeData[] edges = getEdges();
//按照权值,从小到大排序
sortEdges(edges);
//遍历edges数组,将边添加到最小生成树,并判断是否构成回路,如果没有,就加入
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
//获取第i条边的起点
int start = getPosition(edges[i].start);
//获取第i条边的终点
int end = getPosition(edges[i].end);
//获取start顶点在最小生成树的终点
int end1 = getEnd(ends, start);
//获取end顶点在最小生成树的终点
int end2 = getEnd(ends, end);
//判断是否构成回路
if (end1 != end2) {//没有构成回路
ends[end1] = end2;
result.add(edges[i]);//此边加入到数组中
}
}
//输出最小生成树
System.out.println(result);
}
}
class EdgeData implements Comparable {
char start; //边的起点
char end;//边的终点
int weight; //边的权值
public EdgeData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "EdgeData{" +
"<" + start +
", " + end +
"> weight=" + weight +
'}';
}
@Override
public int compareTo(EdgeData o) {
return this.weight - o.weight;
}
}