第九届蓝桥杯大赛软件赛省赛 C/C++ 大学 B 组题解

第九届蓝桥杯大赛软件赛省赛 C/C++ 大学 B 组

【考生须知】

• 考试开始后，选手首先下载题目，并使用考场现场公布的解压密码解压试题。

• 考试时间为 $4$ 小时。时间截止后，提交答案无效。

• 在考试强制结束前，选手可以主动结束考试（需要身份验证），结束考试后将无法继续提交或浏览答案。

• 选手可浏览自己已经提交的答案。被浏览的答案允许拷贝。

• 对同一题目，选手可多次提交答案，以最后一次提交的答案为准。

• 选手切勿在提交的代码中书写“姓名”、“考号”，“院校名”等与身份有关的信息或其它与竞赛题目无关的内容，否则成绩无效。

• 选手必须通过浏览器方式提交自己的答案。选手在其它位置的作答或其它方式提交的答案无效。

• 试题包含三种类型：“结果填空”、“代码填空”与“程序设计”。

**结果填空题：**要求选手根据题目描述直接填写结果。求解方式不限。不要求源代码。

把结果填空的答案直接通过网页提交即可，不要书写多余的内容。

**代码填空题：**要求选手在弄清给定代码工作原理的基础上填写缺失的部分，使得程序逻辑正确、完整。

把代码填空的答案（仅填空处的答案，不包括题面已存在的代码或符号）直接通过网页提交即可，不要书写多余的内容。

使用 $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}/\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}++$ 标准，不要依赖操作系统或编译器提供的特殊函数。

**程序设计题目：**要求选手设计的程序对于给定的输入能给出正确的输出结果。考生的程序只有能运行出正确结果才有机会得分。

注意：在评卷时使用的输入数据与试卷中给出的示例数据可能是不同的。选手的程序必须是通用的，不能只对试卷中给定的数据有效。

对于编程题目，要求选手给出的解答完全符合 $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}++$ 标准，不能使用诸如绘图、$\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}32\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{I}$、中断调用、硬件操作或与操作系统相关的 $\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{I}$。

代码中允许使用 $\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{L}$ 类库。

注意: main 函数结束必须返回 $0$

注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include ， 不能通过工程设置而省略常用头文件。

所有源码必须在同一文件中。调试通过后，拷贝提交。

提交时，注意选择所期望的编译器类型。

1. 第几天

结果填空 (满分 $5$ 分)

问题的描述在考生文件夹下对应题号的“题目.txt”中。相关的参考文件在同一目录中。请先阅读题目，不限解决问题的方式，只要求提交结果。

必须通过浏览器提交答案。

$2000$ 年的 $1$ 月 $1$ 日，是那一年的第 $1$ 天。
那么，$2000$ 年的 $5$ 月 $4$ 日，是那一年的第几天？

注意：需要提交的是一个整数，不要填写任何多余内容。

Solution

• 只需要注意 $2000$ 年是闰年，所以 $2$ 月有 $29$ 天.

• 所以 $2000$ 年的 $1$ 月共有 $31$ 天，$2$ 月共有 $29$ 天，$3$ 月共有 $31$ 天，$4$ 月共有 $30$，加上题目中要求的 $5$ 月开头的 $4$ 天，总为 $31+29+31+30+4=125$ 天.

• 故 $2000$ 年的 $5$ 月 $4$ 日，是那一年的第 $125$ 天.

#include 

int main() 
{
    printf("%d\n", 31 +29 + 31 + 30 + 4);
    
    return 0;
}

• 故答案为 $125$.

2. 明码

结果填空 (满分 $7$ 分)

问题的描述在考生文件夹下对应题号的“题目.txt”中。相关的参考文件在同一目录中。请先阅读题目，不限解决问题的方式，只要求提交结果。

必须通过浏览器提交答案。

汉字的字形存在于字库中，即便在今天，$16$ 点阵的字库也仍然使用广泛。
$16$ 点阵的字库把每个汉字看成是 $16\times 16$ 个像素信息。并把这些信息记录在字节中。

一个字节可以存储 $8$ 位信息，用 $32$ 个字节就可以存一个汉字的字形了。
把每个字节转为 $2$ 进制表示，$1$ 表示墨迹，$0$ 表示底色。每行 $2$ 个字节，
一共 $16$ 行，布局是：

第1字节，第2字节
第3字节，第4字节
....
第31字节, 第32字节

这道题目是给你一段多个汉字组成的信息，每个汉字用 $32$ 个字节表示，这里给出了字节作为有符号整数的值。

题目的要求隐藏在这些信息中。你的任务是复原这些汉字的字形，从中看出题目的要求，并根据要求填写答案。

这段信息是（一共 $10$ 个汉字）：

4 0 4 0 4 0 4 32 -1 -16 4 32 4 32 4 32 4 32 4 32 8 32 8 32 16 34 16 34 32 30 -64 0 
16 64 16 64 34 68 127 126 66 -124 67 4 66 4 66 -124 126 100 66 36 66 4 66 4 66 4 126 4 66 40 0 16 
4 0 4 0 4 0 4 32 -1 -16 4 32 4 32 4 32 4 32 4 32 8 32 8 32 16 34 16 34 32 30 -64 0 
0 -128 64 -128 48 -128 17 8 1 -4 2 8 8 80 16 64 32 64 -32 64 32 -96 32 -96 33 16 34 8 36 14 40 4 
4 0 3 0 1 0 0 4 -1 -2 4 0 4 16 7 -8 4 16 4 16 4 16 8 16 8 16 16 16 32 -96 64 64 
16 64 20 72 62 -4 73 32 5 16 1 0 63 -8 1 0 -1 -2 0 64 0 80 63 -8 8 64 4 64 1 64 0 -128 
0 16 63 -8 1 0 1 0 1 0 1 4 -1 -2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 5 0 2 0 
2 0 2 0 7 -16 8 32 24 64 37 -128 2 -128 12 -128 113 -4 2 8 12 16 18 32 33 -64 1 0 14 0 112 0 
1 0 1 0 1 0 9 32 9 16 17 12 17 4 33 16 65 16 1 32 1 64 0 -128 1 0 2 0 12 0 112 0 
0 0 0 0 7 -16 24 24 48 12 56 12 0 56 0 -32 0 -64 0 -128 0 0 0 0 1 -128 3 -64 1 -128 0 0 

注意：需要提交的是一个整数，不要填写任何多余内容。

Solution

• 一行表示一个汉字，对每个数字进行两两分组，再进行二进制表示；根据题目要求，给出一个 $16\times 16$ 的表格，将二进数排列后，数位为 $1$ 的位置涂黑，即可还原为汉字图形，如下图为还原出的第一个汉字：

第一个汉字

将数字两两分组后，例如第一组数字 $(4,0)$，则它们的二进制表示为 $(100_{(2)},0_{(2)})$.

每字节共有 $8$ 位，不足的在前面不零，所以第一行为 $0000010000000000$，将对应为 $1$ 的地方涂色，即可变为上图的第一行.

其他行也如法炮制，即可得到这 $10$ 个汉字.

• 故可以写出如下代码：

#include 

int len[16];
char mp[160][160];

void change (int x, int i) 
{
    for (int j = 7; j >= 0; -- j)
        if ((x >> j) & 1) mp[i][ ++ len[i]] = '*';
        else mp[i][ ++ len[i]] = ' ';
}

int main() 
{
    for (int t = 0; t < 10; ++ t)
    {
        for (int i = 0; i < 16; ++ i)
        {
            short int a, b;
            scanf("%d%d", &a, &b);
            change(a,i);
            change(b,i);
        }
    }
    
    for (int i = 0; i < 160; ++ i)
    {
        for (int j = 0; j < 160; ++ j)
            putchar(mp[i][j]);
        puts("");
    }
    
    return 0;
}

直接检验在二进制下某个数 $x$ 的某一位是否为 $1$ 即可，不需要分正负讨论.

因为不论是 $16$ 位的 int 数据类型，还是题目中要求的 $8$ 位整数数据类型，其在负数上的区别，只是高位有多少个 $1$ 的区别罢了，而我们只判断后 $8$ 位，故在本题中并不造成影响.

• 将给出的代表 $10$ 个汉字的整数直接输入进去，可以得到：

     *             *     *           *                  *            *             *     *                 *          *                *
     *             *     *           *           *      *             **           * *   *  *     ***********         *                *
     *            *   *  *   *       *            **    *              *          ***** ******         *             *******           *             *******
     *    *      ******* ******      *    *        *   *    *                *   *  *  *  *            *            *     *         *  *  *        **      **
************     *    * *    *  ************           *******  ***************      * *   *           *           **    *          *  *   *      **        **
     *    *      *    **     *       *    *           *     *        *                 *               *     *    *  * **          *   *    **    ***       **
     *    *      *    *      *       *    *         *    * *         *     *      ***********   ***************       * *          *   *     *            ***
     *    *      *    * *    *       *    *        *     *           ********          *               *            **  *         *    *   *            ***
     *    *      ******  **  *       *    *       *      *           *     *    ***************        *         ***   *******   *     *   *            **
     *    *      *    *   *  *       *    *     ***      *           *     *             *             *              *     *          *  *             *
    *     *      *    *      *      *     *       *     * *          *     *             * *           *            **     *           * *
    *     *      *    *      *      *     *       *     * *         *      *      ***********          *           *  *   *             *
   *      *   *  *    *      *     *      *   *   *    *   *        *      *        *    *             *          *    ***             *               **
   *      *   *  ******      *     *      *   *   *   *     *      *       *         *   *             *               *              *               ****
  *        ****  *    *   * *     *        ****   *  *      ***   *     * *            * *           * *            ***             **                 **
**                         *    **                * *        *   *       *              *             *          ***             ***

• 可以得到问题：九的九次方等于多少?，答案可以通过如下代码算出：

#include 

int main() 
{
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < 9; ++ i)
        ans *= 9;
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

• 输出结果为：

387420489

• 故答案为 $387420489$.

3. 乘积尾零

结果填空 (满分 $13$ 分)

问题的描述在考生文件夹下对应题号的“题目.txt”中。相关的参考文件在同一目录中。请先阅读题目，不限解决问题的方式，只要求提交结果。

必须通过浏览器提交答案。

如下的 $10$ 行数据，每行有 $10$ 个整数，请你求出它们的乘积的末尾有多少个零？

5650 4542 3554 473 946 4114 3871 9073 90 4329 
2758 7949 6113 5659 5245 7432 3051 4434 6704 3594 
9937 1173 6866 3397 4759 7557 3070 2287 1453 9899 
1486 5722 3135 1170 4014 5510 5120 729 2880 9019 
2049 698 4582 4346 4427 646 9742 7340 1230 7683 
5693 7015 6887 7381 4172 4341 2909 2027 7355 5649 
6701 6645 1671 5978 2704 9926 295 3125 3878 6785 
2066 4247 4800 1578 6652 4616 1113 6205 3264 2915 
3966 5291 2904 1285 2193 1428 2265 8730 9436 7074 
689 5510 8243 6114 337 4096 8199 7313 3685 211 

注意：需要提交的是一个整数，表示末尾零的个数。不要填写任何多余内容。

Solution

• 根据算数基本定理，每个数都能被分为，多个质数的乘积的形式，而 $10^k=2^k\times 5^k$.
• 所以只需要看所有数中包含多少个 $2$ 和 $5$，输出较少的数即可.

#include 

int cnt2, cnt5;

int main() 
{
    for (int i = 0; i < 100; ++ i)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        while (x % 2 == 0)
        {
            ++ cnt2;
            x /= 2;
        }
        while (x % 5 == 0)
        {
            ++ cnt5;
            x /= 5;
        }
    }
    printf("%d", cnt2 < cnt5 ? cnt2 : cnt5); // 使用三目运算符求 cnt2 和 cnt5 的最小值
    
    return 0;
}

• 输出结果为：

31

• 故答案为 $31$.

4. 测试次数

结果填空 (满分 $17$ 分)

问题的描述在考生文件夹下对应题号的“题目.txt”中。相关的参考文件在同一目录中。请先阅读题目，不限解决问题的方式，只要求提交结果。

必须通过浏览器提交答案。

$\mathrm{x}$ 星球的居民脾气不太好，但好在他们生气的时候唯一的异常举动是：摔手机。
各大厂商也就纷纷推出各种耐摔型手机。$\mathrm{x}$ 星球的质监局规定了手机必须经过耐摔测试，并且评定出一个耐摔指数来，之后才允许上市流通。

$\mathrm{x}$ 星球有很多高耸入云的高塔，刚好可以用来做耐摔测试。塔的每一层高度都是一样的，与地球上稍有不同的是，他们的第一层不是地面，而是相当于我们的 $2$ 楼。

如果手机从第 $7$ 层扔下去没摔坏，但第 $8$ 层摔坏了，则手机耐摔指数 $=7$。
特别地，如果手机从第 $1$ 层扔下去就坏了，则耐摔指数 $=0$。
如果到了塔的最高层第 $n$ 层扔没摔坏，则耐摔指数 $=n$。

为了减少测试次数，从每个厂家抽样3部手机参加测试。

某次测试的塔高为 $1000$ 层，如果我们总是采用最佳策略，在最坏的运气下最多需要测试多少次才能确定手机的耐摔指数呢？

请填写这个最多测试次数。

注意：需要填写的是一个整数，不要填写任何多余内容。

Solution

• 考虑动态规划，设 $dp[i][j]$ 测试楼层共 $i$ 层，有 $j$ 部测试手机的测试次数.
• 如果当前手机在 $k,k\in [1,i]$ 层摔碎了，则还需要测试 $k-1$ 层，还有 $j-1$ 部手机，则接下来的状态为 $dp[k-1][j-1]$.
• 如果当前手机在 $k,k\in [1,i]$ 层没有摔碎，则还需要测试 $i-k$ 层，还有 $j$ 部手机，则接下来的状态为 $dp[j-k][j]$.
• 通过枚举 $k$ 即可得到状态转移方程

$$dp[i][j]=\min \{dp[i][j],1+\underset{k\in [1,i]}{\max }\{dp[k-1][j-1],dp[i-k][j]\}\}$$

取 $\max$ 是因为要选择其中最坏的情况.

• 考虑边界，对于只有一部手机的情况，显然有 $dp[i][1]=i,i\in [1,1000]$.

即因为只有一部手机，所以只能从第 $1$ 层开始测试（摔坏了就没得测了），最坏情况即为在顶层才摔坏.

#include 
#include 

using namespace std;

int dp[1001][4];

int main() 
{
    for (int i = 1; i <= 1000; ++ i) dp[i][1]=i;

    for (int j = 2; j <= 3; ++ j)
        for (int i = 1; i<= 1000; ++ i){
            dp[i][j] = i; //这里是初始化 dp[i][j] 的值，为最坏情况且策略最坏的情况下的测试次数
            for (int k = 1; k <= i; ++ k){
                dp[i][j]=min(dp[i][j],1+max(dp[k-1][j-1],dp[i-k][j]));
            }
        }

    printf("%d\n",dp[1000][3]);

    return 0;
} 

• 输出结果为：

19

• 故答案为 $19$.

5. 快速排序

代码填空 (满分 $9$ 分)

问题的描述在考生文件夹下对应题号的“题目.txt”中。相关的参考文件在同一目录中。请先阅读题目，不限解决问题的方式。

只要求填写缺失的代码部分，千万不要画蛇添足，填写多余的已有代码或符号。

必须通过浏览器提交答案。

以下代码可以从数组a[]中找出第 $k$ 小的元素。

它使用了类似快速排序中的分治算法，期望时间复杂度是 $O(N)$ 的。

请仔细阅读分析源码，填写划线部分缺失的内容。

#include 

int quick_select(int a[], int l, int r, int k) {
	int p = rand() % (r - l + 1) + l;
	int x = a[p];
	{int t = a[p]; a[p] = a[r]; a[r] = t;}
	int i = l, j = r;
	while(i < j) {
		while(i < j && a[i] < x) i++;
		if(i < j) {
			a[j] = a[i];
			j--;
		}
		while(i < j && a[j] > x) j--;
		if(i < j) {
			a[i] = a[j];
			i++;
		}
	}
	a[i] = x;
	p = i;
	if(i - l + 1 == k) return a[i];
	if(i - l + 1 < k) return quick_select( _____________________________ ); //填空
	else return quick_select(a, l, i - 1, k);
}
	
int main()
{
	int a[] = {1, 4, 2, 8, 5, 7, 23, 58, 16, 27, 55, 13, 26, 24, 12};
	printf("%d\n", quick_select(a, 0, 14, 5));
	return 0;
}

注意：只填写划线部分缺少的代码，不要抄写已经存在的代码或符号。

Solution

• quick_select函数的意义为，寻找在数组a[]的l到r范围内的第k大值.

• 分析代码，第 $4\sim 21$ 行，以a[p]为标准，将数组a[]的l到r范围划分出了两个部分：

  1. l到i的部分的元素均满足<=a[i]；
  2. i+1到r的部分的元素均满足>a[i].

• 代码第 $22$ 行表示，如果i刚好为，l到r范围内的第k大值，则直接返回a[i].

• 代码第 $23$ 行表示，如果k超出了l到i的范围，则需要去i+1到r的范围内寻找，且寻找的就不为第k大值了，因为前i-l+1个元素都是小于第k大值的，所以需要寻找第k-(i-l+1)=k-i+l-1大值.

• 故此空填a, i + 1, r, k - i + l - 1.

• 输出结果应为：

7

6. 递增三元组

程序设计（满分 $11$ 分）

问题的描述在考生文件夹下对应题号的“题目.txt”中。相关的参考文件在同一目录中。请先阅读题目，必须通过编程的方式解决问题。

注意：在评卷时使用的输入数据与试卷中给出的示例数据可能是不同的。选手的程序必须是通用的，不能只对试卷中给定的数据有效。

仔细阅读程序的输入、输出要求，千万不要输出没有要求的、多余的内容，例如：“请您输入xx数据：”。

建议仔细阅读示例，不要想当然！

程序处理完一个用例的数据后，立即退出（return 0），千万不要循环等待下一个用例的输入。

程序必须使用标准输入、标准输出，以便于机器评卷时重定向。

对于编程题目，要求选手给出的解答完全符合 $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}++$标准，不能使用诸如绘图、$\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}32\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{I}$、中断调用、硬件操作或与操作系统相关的 $\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{I}$。

代码中允许使用 $\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{L}$ 类库。

注意: main 函数结尾需要 return 0

注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include ， 不能通过工程设置而省略常用头文件。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。

提交时，注意选择所期望的编译器类型。

给定三个整数数组
$A=[A_1,A_2,...A_N],$
$B=[B_1,B_2,...B_N],$
$C=[C_1,C_2,...C_N],$
请你统计有多少个三元组 $(i,j,k)$ 满足：

1. $1⩽i,j,k⩽N$
2. $A_i<B_j<C_k$

【输入格式】

第一行包含一个整数 $N$。
第二行包含 $N$ 个整数 $A_1,A_2,...A_N$。
第三行包含 $N$ 个整数 $B_1,B_2,...B_N$。
第四行包含 $N$ 个整数 $C_1,C_2,...C_N$。

对于 $30\%$ 的数据，$1⩽N⩽100$
对于 $60\%$ 的数据，$1⩽N⩽1000$
对于 $100\%$ 的数据，$1⩽N⩽100000,0⩽Ai,Bi,Ci⩽100000$

【输出格式】

一个整数表示答案

【样例输入】

3
1 1 1
2 2 2
3 3 3

【样例输出】

27 

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） $<256\mathrm{M}$
$\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{U}$ 消耗 $<1000\mathrm{m}\mathrm{s}$

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

注意：
main函数需要返回 $0$;
只使用 $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}/\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}++$ 标准;
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

Solution（双指针解法）

• 因为只需要找到三元组 $(i,j,k)$ 符合要求即可，对 $A,B,C$ 数组的下标顺序没有要求，故可以先将 $A,B,C$ 三个数组从小到大排序.

• 对于每个 $B_x$，在数组 $A$ 中寻找到一个位置 $i_0$，使得 $\forall p\in [1,i_0],A_p<B_x$；同样地，在数组 $C$ 中寻找一个位置 $j_0$，使得 $\forall p\in [j_0,N],C_p>B_x$.

• 此时，可以得到的三元组形如 $(p_a,x,p_c),p_a\in [1,i_0],p_c\in [j_0,N]$，其个数为 $i_0\times (N-j_0+1)$.

即问题转化为求数组 $B$ 中每一个元素 $B_x$，在数组 $A$ 中有多少个元素 $<B_x$，在数组 $C$ 中有多少个元素 $>B_x$.

• 由于数组 $B$ 也是非递减的，所以可以使用双指针算法解决本题.

即对于 $B_x$ 来说，假设已经求得了 $B_{x-1}$ 所对应的 $i_0,j_0$.

由于数组 $B$ 和 $A$ 是非递减的，所以显然有 $A_p<B_x,p\in [1,i_0]$，故只需要从 $i_0$ 开始往后寻找一个位置 $i_o’$（可能是 $i_0$ 本身），使得 $\forall p\in [1,i_0^{\prime }],A_p<B_x$ 即可.

由于数组 $B$ 和 $C$ 是非递减的，所以如果 $C_{j_0}⩽B_x$，则一定有 $C_p⩽B_x,p\in [1,j_0]$，此时只需要从 $j_0$ 开始往后寻找一个位置 $j_0^{\prime }$，使得 $\forall p\in [j_0^{\prime },N],C_p>B_x$ 即可.

• 如果 $C_{j_0}>B_x$，则一定有得 $\forall p\in [j_0,N],C_p>B_x$，此时 $j_0^{\prime }=j_0$.

故 $i_0$ 和 $j_0$ 均是递增的，只会遍历一遍数组 $A$ 和 $B$，加上遍历一遍数组 $B$，故总的时间复杂度为 $O(N)$.

考虑答案的规模，最坏的情况为对于每个 $B_x$，都有 $i_0=N,j_0=1$，则答案为 $N^3$，会超出 int 的数据表示范围，故答案需要使用 long long 存储.

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 5;

int n, A[N], B[N], C[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d", &A[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d", &B[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d", &C[i]);
    sort(A + 1, A + 1 + n);
    sort(B + 1, B + 1 + n);
    sort(C + 1, C + 1 + n);

    int i_0 = 0, j_0 = 0;
    LL ans = 0;
    for (int x = 1; x <= n; ++ x)
    { 
        while(i_0 < n && A[i_0 + 1] < B[x]) ++ i_0; 
        while(j_0 <= n && C[j_0] <= B[x]) ++ j_0;
        ans += 1ll * i_0 * (n - j_0 + 1);
    }
    printf("%lld\n",ans);

    return 0;
}

Solution（树状数组解法）

• 可以直接使用树状数组，建两棵权值树状数组，分别存储数组 $A$ 和数组 $C$.

权值树状数组，即存储的是某个数组 $Z$ 的某个元素出现的次数，元素的值作为下标，元素的出现次数作为值.

• 这样，对于数组 $B$ 中的每个元素 $B_x$，在存储数组 $A$ 的权值树状数组 $tre{e}_A$ 中找到 $<B_x$ 的元素的个数 $cn{t}_A$，在存储数组 $C$ 的权值树状数组中找到 $>B_x$ 的元素的个数 $cn{t}_C$.

由于 $0⩽Ai,Bi,Ci$，所以需要将所有值先都 $+1$ 再存储树状数组中，否则由于 $lowbit(0)=0\&-0=0$ 可能会造成树状数组的死循环.

设ask(tree, x)函数为寻找在权值树状数组tree 中，小于等于x的数的个数.

则 $cn{t}_A$ 为ask(treeA, B[x])，因为数组 $A$ 和 $C$ 的所有值都 $+1$ 了，所以查找的结果恰好为，数组 $A$ 中小于 $B_x$ 的元素的个数.

则 $cn{t}_C$ 为ask(treeC, N+1)- ask(treeC, b[x]+1)，即用数组 $C$ 中小于等于 $N$ 的元素的个数 减去 小于等于 $B_x$ 的元素的个数，得到的即为大于等于 $B_x$ 的元素的个数，这里也需要注意数组 $C$ 的所有值也都 $+1$ 了.

树状数组的时间复杂度为 $O(N\log N)$.

• 答案即为 $cn{t}_A\times cn{t}_C$.

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 5;

int n, B[N], treeA[N], treeC[N];

void add(int tree[], int x)
{
    for (int i = x; i < N; i += i & (-i))
        tree[i]+=1;
}

int ask(int tree[], int x)
{
    int res = 0;
    for(int i = x; i ; i -= i & (-i))
        res += tree[i];
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        int A; 
        scanf("%d", &A);
        add(treeA, A + 1);
    } 
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d", &B[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        int C;
        scanf("%d", &C);
        add(treeC, C + 1);
    }

    LL ans = 0;
    for (int x = 1; x <= n; ++ x)
    {
        int cntA = ask(treeA, B[x]);
        int cntC = ask(treeC, N) - ask(treeC, B[x]+1);
        ans += 1ll * cntA * cntC;
    }
    printf("%lld\n",ans);

    return 0;
}

7. 螺旋折线

程序设计（满分 $19$ 分）

问题的描述在考生文件夹下对应题号的“题目.txt”中。相关的参考文件在同一目录中。请先阅读题目，必须通过编程的方式解决问题。

注意事项同上题

p1.png

如图p1.png所示的螺旋折线经过平面上所有整点恰好一次。
对于整点 $(X,Y)$，我们定义它到原点的距离 $dis(X,Y)$ 是从原点到 $(X,Y)$ 的螺旋折线段的长度。

例如 $dis(0,1)=3$，$dis(-2,-1)=9$

给出整点坐标 $(X,Y)$，你能计算出 $dis(X,Y)$ 吗？

【输入格式】

$X$ 和 $Y$

对于 $40\%$ 的数据，$-1000⩽X,Y⩽1000$
对于 $70\%$ 的数据，$-100000⩽X，Y⩽100000$
对于 $100\%$ 的数据，$-1000000000⩽X,Y⩽1000000000$

【输出格式】

输出 $dis(X,Y)$

【样例输入】

0 1

【样例输出】

3

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） $<256\mathrm{M}$
$\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{U}$ 消耗 $<1000\mathrm{m}\mathrm{s}$

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

注意：
main函数需要返回 $0$;
只使用 $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}/\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}++$ 标准;
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

Solution

• 通过观察可以发现，对于形如 $(x_0,x_0),x_0\in \mathbf{N}$ 的点，有 $dis(x_0,x_0)=(2x_0{)}^2$.
• 如下图所示，可以以每个 $(x_0,x_0)$ 点所在的正方形为一个圈，将整个图划分成好几个圈：

将原图进行如图划分

• 显然，对于任意形如 $(x,y)$ 的点，其必然被包含在 $(x_0,x_0),x_0:=\max \{|x|,|y|\}$ 的圈内.
• 如图，若 $x<y$，则其点在灰色直线的下半部分，其需要从 $(x_0,x_0)$ 点出发再加上一段距离；同样地，若 $x⩾y$，则从 $(x_0,x_0)$ 点出发再减去一段距离.
• 这段距离即为曼哈顿距离，即 $|x-x_0|+|y-x_0|$.
• 综上所述，若 $x<y$ 则答案为 $4x_0^2-(|x-x_0|+|y-x_0|)$；若 $x⩾y$ 则答案为 $4x_0^2+(|x-x_0|+|y-y_0|)$.

由于 $X,Y⩽10^9$，所以答案可能超出 int 表示范围，故计算答案时需要转换成 long long 类型.

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main()
{
    int x, y;
    scanf("%d%d", &x, &y);
    int x_0 = max(abs(x), abs(y));
    long long ans = 4ll * x_0 * x_0;
    
    if (x < y) ans -= 1ll * abs(x - x_0) + abs(y - x_0);
    else ans += 1ll * abs(x - x_0) + abs(y - x_0);
    
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}

8. 日志统计

程序设计（满分 $21$ 分）

问题的描述在考生文件夹下对应题号的“题目.txt”中。相关的参考文件在同一目录中。请先阅读题目，必须通过编程的方式解决问题。

注意事项同上题

小明维护着一个程序员论坛。现在他收集了一份"点赞"日志，日志共有N行。其中每一行的格式是：

ts id  

表示在ts时刻编号id的帖子收到一个"赞"。

现在小明想统计有哪些帖子曾经是"热帖"。如果一个帖子曾在任意一个长度为 $D$ 的时间段内收到不少于 $K$ 个赞，小明就认为这个帖子曾是"热帖"。

具体来说，如果存在某个时刻 $T$ 满足该帖在 $[T,T+D)$ 这段时间内（注意是左闭右开区间）收到不少于 $K$ 个赞，该帖就曾是"热帖"。

给定日志，请你帮助小明统计出所有曾是"热帖"的帖子编号。

【输入格式】

第一行包含三个整数 $N$、$D$ 和 $K$。
以下 $N$ 行每行一条日志，包含两个整数ts和id。

对于 $50\%$ 的数据，$1⩽K⩽N⩽1000$
对于 $100\%$ 的数据，$1⩽K⩽N⩽100000,0⩽\mathrm{t}\mathrm{s}⩽100000,0⩽\mathrm{i}\mathrm{d}⩽100000$

【输出格式】

按从小到大的顺序输出热帖id。每个id一行。

【输入样例】

7 10 2  
0 1  
0 10    
10 10  
10 1  
9 1
100 3  
100 3  

【输出样例】

1  
3  

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） $<256\mathrm{M}$
$\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{U}$ 消耗 $<1000\mathrm{m}\mathrm{s}$

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

注意：
main函数需要返回 $0$;
只使用 $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}/\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}++$ 标准;
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

Solution

• 使用双指针算法，先对日志按照时间从大到小排序.
• 遍历日志，有当前时间 $t{s}_i$ 和最早合法点赞信息时间 $t{s}_j$，首先维护 $t{s}_j$，将 $t{s}_j$ 不断往后走直到其满足 $t{s}_i-t{s}_j+1⩽D$ 位置.

在维护的过程中，记录每个帖子在合法时间段内被点了多少赞，即 $cn{t}_{id}$.

若 $t{s}_j$ 需要往后走，则其点赞信息即为过期，需要让 $cn{t}_{i{d}_j}-1$.

• 随后将当前时间的点赞信息记录，即 $cn{t}_{i{d}_i}+1$.
• 检查对于当前帖子 $i{d}_i$，其合法时间段内的点赞数是否 $⩾K$，若满足要求则将其加入到 $ans$ 集合内.
• 最后对集合从小到大遍历输出即可.
• 时间复杂度为 $O(N\log N)$.

主要为sort函数贡献了最多时间复杂度.

因为 $t{s}_j$ 只会往后走，故while循环只会执行 $N$ 次，故遍历日志的时间复杂度仅为 $O(N)$.

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 1;

int n,d,k,cnt[N];

struct node
{
    int ts,id;
    bool operator < (const node x) const // 这里是使用重载运算符重新规定小于号，也可以使用 cmp 函数，也可以使用 pair 让其直接按第一关键字排序
    {
        return ts < x.ts;
    }
}s[N];

set<int>ans;

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &d, &k);
    for (int i = 0; i < n; ++ i)
        scanf("%d%d", &s[i].ts, &s[i].id);
    sort(s, s + n); // sort 函数会按照小于号的规则进行排序
    
    for (int i = 0, j = 0; i < n; ++ i)
    {
        int id = s[i].id, ts = s[i].ts;
        while(ts - s[j].ts + 1 > d)
        {
            -- cnt[s[j].id];
            ++ j;
        }
        ++ cnt[id];
        if (cnt[id] >= k) ans.insert(id);
    }
    
    for (int i = 0; i < N; ++ i)
        if (ans.count(i)) printf("%d\n",i);
    
    return 0;
}

9. 全球变暖

程序设计（满分 $23$ 分）

问题的描述在考生文件夹下对应题号的“题目.txt”中。相关的参考文件在同一目录中。请先阅读题目，必须通过编程的方式解决问题。

注意事项同上题

你有一张某海域 $N\times N$ 像素的照片，".“表示海洋、”#"表示陆地，如下所示：

.......
.##....
.##....
....##.
..####.
...###.
.......

其中"上下左右"四个方向上连在一起的一片陆地组成一座岛屿。例如上图就有 $2$ 座岛屿。

由于全球变暖导致了海面上升，科学家预测未来几十年，岛屿边缘一个像素的范围会被海水淹没。具体来说如果一块陆地像素与海洋相邻(上下左右四个相邻像素中有海洋)，它就会被淹没。

例如上图中的海域未来会变成如下样子：

.......
.......
.......
.......
....#..
.......
.......

请你计算：依照科学家的预测，照片中有多少岛屿会被完全淹没。

【输入格式】

第一行包含一个整数 $N$。（$1⩽N⩽1000$）
以下 $N$ 行 $N$ 列代表一张海域照片。

照片保证第 $1$ 行、第 $1$ 列、第 $N$ 行、第 $N$ 列的像素都是海洋。

【输出格式】

一个整数表示答案。

【输入样例】

7 
.......
.##....
.##....
....##.
..####.
...###.
.......  

【输出样例】

1  

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） $<256\mathrm{M}$
$\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{U}$ 消耗 $<1000\mathrm{m}\mathrm{s}$

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

注意：
main函数需要返回 $0$;
只使用 $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}/\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}++$ 标准;
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

Solution

• 对于每个第一次遇到的#，对其进行BFS广度优先遍历.
• 如果该岛屿不会被完全淹没，毕竟会存在某个#，满足其四周均为#；否则，该岛屿就会淹没.
• 时间复杂度为 $O(N^3)$

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N=1005;

int n,ans;
char mp[N][N];
int dx[]={1,-1,0,0};
int dy[]={0,0,1,-1};
bool vis[N][N],f;

void bfs(int x, int y){
    queue<int>qx, qy;
    qx.push(x); qy.push(y); vis[x][y] = 1;
    while (! qx.empty())
    {
        x = qx.front(); qx.pop();
        y = qy.front(); qy.pop();

        int cnt = 0; // 用 cnt 记录当前#周围有多少#

        for (int i = 0; i < 4; ++ i){
            int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];
            if (mp[nx][ny] == '#')
            {
                ++ cnt;
                if(! vis[nx][ny])
                {
                    qx.push(nx); qy.push(ny); vis[nx][ny] = 1;
                }
            }
        }
        if(cnt == 4) f = 0;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
        for(int j = 1; j <= n; ++ j)
            cin >> mp[i][j];

    for(int i = 2; i < n; ++ i) // 因为保证四周都是海，所以不用判断边界，也不用遍历到边界
        for(int j = 2; j < n; ++ j)
            if (mp[i][j] == '#' && ! vis[i][j])
            {
                f = 1;
                bfs(i,j);
                if (f) ++ ans;
            }
    
    printf("%d\n",ans);
    
    return 0;
}

10. 乘积最大

程序设计（满分25分）

问题的描述在考生文件夹下对应题号的“题目.txt”中。相关的参考文件在同一目录中。请先阅读题目，必须通过编程的方式解决问题。

注意事项同上题

给定 $N$ 个整数 $A_1,A_2,...A_N$。请你从中选出 $K$ 个数，使其乘积最大。

请你求出最大的乘积，由于乘积可能超出整型范围，你只需输出乘积除以 $1000000009$ 的余数。

注意，如果 $X<0$， 我们定义 $X$ 除以 $1000000009$ 的余数是负（$-X$）除以 $1000000009$ 的余数。
即：$0-((0-x)\%1000000009)$

【输入格式】

第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$。
以下 $N$ 行每行一个整数 $A_i$。

对于 $40\%$ 的数据，$1⩽K⩽N⩽100$
对于 $60\%$ 的数据，$1⩽K⩽1000$
对于 $100\%$ 的数据，$1⩽K⩽N⩽100000,-100000⩽A_i⩽100000$

【输出格式】

一个整数，表示答案。

【输入样例】

5 3 
-100000   
-10000   
2   
100000  
10000  

【输出样例】

999100009

再例如：

【输入样例】

5 3 
-100000   
-100000   
-2   
-100000  
-100000

【输出样例】

-999999829

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） $<256\mathrm{M}$
$\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{U}$ 消耗 $<1000\mathrm{m}\mathrm{s}$

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

注意：
main函数需要返回 $0$;
只使用 $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}/\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{C}++$ 标准;
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

Solution

• 首先将 $A_i$ 从小到大排序.
• 当 $k$ 为偶数时，则可以选择从开头 $Left$ 选择两个数相乘，或从末尾 $Right$ 选择两个数相乘，取其中较大者.

因为就算有负数的情况，两个负数相乘一定是正数.

如果负数只有一个，则肯定尽量先不选择该负数，也符合该流程.

• 当 $k$ 为奇数时，则需要考虑第一个应该选哪个数，可以发现：
  • 对于一般情况，取最大的数肯定没错，即取 $A_{Right}$；
  • 若所有数都是负数，则乘积最大转化为求绝对值乘积最小，则也先取 $A_{Right}$；
  • 故经过分析，一定会先取 $A_{Right}$，之后转化为偶数情况；
  • 但若 $A_{Right}<0$，则之后的选取就需要从中选取较小者.
• 时间复杂度为 $O(N\log N)$.

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=1e5+5,mod=1e9+9;

int n,k,a[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) scanf("%d", &a[i]);
    sort(a, a + n);
    int L = 0,R = n - 1, sgn = 1; // 使用 sgn 代表 ans 的符号，如果符号为负，则之后就需要寻找较小者
    LL ans = 1;
    if (k & 1){
        ans = a[R -- ];
        if (ans < 0) sgn = -1;
        -- k;
    }
    while (k){
        LL Lres = 1ll * a[L] * a[L + 1];
        LL Rres = 1ll * a[R] * a[R - 1];
        if (Lres * sgn > Rres * sgn) // 若 ans 为负，则这里就需要寻找较小者，刚好乘上 sgn 就可以改变比较关系
        { 
            ans = Lres % mod * ans % mod;
            L += 2;
        }
        else 
        {
            ans = Rres % mod * ans % mod;
            R -= 2;
        }
        k -= 2;
    }

    printf("%lld\n",ans);
    
    return 0;
}