Dobot magician机械臂抓取实战---手眼标定(1)

一、相机成像原理及相关概念

相机的成像原理是通过光学系统将光线聚焦在感光元件上,感光元件将光线转换为电信号,然后进行图像处理和存储。

相机成像过程涉及到几个坐标系之间的转换:世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系。

Dobot magician机械臂抓取实战---手眼标定(1)_第1张图片

1、 世界坐标系P(X、Y、Z)和相机坐标系P_{C}X_{c}Y_{c}Z_{c})之间的转换:

    \begin{bmatrix} X_{c}\\Y_{c} \\ Z_{c}\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} _{w}^{c}R & _{w}^{c}T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X\\ Y \\Z \\ 1 \end{bmatrix}   (其中_{w}^{c}R是旋转变换,_{w}^{c}T是平移变换)、

2、相机坐标系P_{C}X_{c}Y_{c}Z_{c})和图像坐标系P_{A}X_{A }Y_{A})【图像坐标系的坐标原点为相机光轴与成像平面的交点】之间的转换:

由相似三角形的原理得:

\frac{X_{c}}{X_{A}} = \frac{Y_{c}}{Y_{A}} = \frac{Z_{c}}{Z_{A}} =\frac{f}{S}(其中:f表示相机的焦距(光心到图像平面的距离),S为P_{A}点到光心的距离)

上式经过转换可得下面矩阵:

s \begin{bmatrix} X_{A}\\ Y_{A} \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f & 0 & 0 &0 \\ 0&f &0 &0 \\ 0& 0 & 1& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{c}\\ Y_{c} \\ Z_{c}\\1 \end{bmatrix}

3、图像坐标系P_{A}X_{A }Y_{A})和像素坐标系(u、v)之间的转换

注:像素坐标系是由图像最左上角的点为坐标原点;描述像素点的位置时,以几行几列来描述dx,dy。

\left\{\begin{matrix} u = \frac{X_{A}}{dx} + u_{0} \\ v = \frac{Y_{A}}{dy} + v_{0} \end{matrix}\right.

\begin{bmatrix} u\\v \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{dx} & 0 &u_{0} \\ 0 &\frac{1}{dy} &v_{0} \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{A}\\ Y_{A}\\ 1 \end{bmatrix}

4、在相机没有发生畸变的情况下相机成像过程

S\begin{bmatrix} u\\v \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{dx} & 0 &u_{0} \\ 0 &\frac{1}{dy} &v_{0} \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} f & 0 & 0 &0 \\ 0&f &0 &0 \\ 0& 0 & 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{w}^{c}R & _{w}^{c}T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X\\ Y\\ Z\\1 \end{bmatrix}

二、相机的成像畸变

畸变是指光学系统对物体所成的像相对于物体本身而言的失真程度,是光学透镜的固有特性。

1、径向畸变(由透镜的形状引起的畸变)

Dobot magician机械臂抓取实战---手眼标定(1)_第2张图片

 2、切向畸变(由于相机内部透镜和成像平面不完全平行产生的)

Dobot magician机械臂抓取实战---手眼标定(1)_第3张图片

径向畸变: x_{correct} = x(1+K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+K_{3}r^{6}) \\y_{correct} = y(1+K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+K_{3}r^{6}) 

切向畸变:\\x_{correct} = x + 2P_{1}xy+P_{2}(r^{2}+2 x^{2}))\\ y_{correct} = y + 2P_{2}xy+P_{1}(r^{2}+2 x^{2}))\\\\ r = x^{2}+y^{2}

3、     m = PM = k\begin{bmatrix} R&T \end{bmatrix}M (其中P为相机矩阵,m为像素坐标点,k为内参,R为外参、M为世界坐标系)

内参:摄像机内部的一些参数(硬件不变,内参基本上不变)

外参:和位置姿态有关

由此可见上面式子:Dobot magician机械臂抓取实战---手眼标定(1)_第4张图片

4、Brown(1966)提出了一种基于基数展开的镜头畸变的解析模型:

x^{''} = x^{'}\frac{1+k_{1}r^{2}+k_{2}r^{4}+k_{3}r^{6}}{1+k_{4}r^{2}+k_{5}r^{4}+k_{6}r^{6}} + 2p_{1}x^{'}y^{'} + p_{2}(r^2+2x^{'2})\\ y^{''} = y^{'}\frac{1+k_{1}r^{2}+k_{2}r^{4}+k_{3}r^{6}}{1+k_{4}r^{2}+k_{5}r^{4}+k_{6}r^{6}} + 2p_{2}x^{'}y^{'} + p_{1}(r^2+2y^{'2})(其中k为径向畸变参数、P为切向畸变参数,r是像素点到光点的距离)

畸变后:\begin{bmatrix} u\\v \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} fx & s &u_{0} \\ 0 & f_{y}&v_{0} \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^{''}\\ y^{''}\\ 1 \end{bmatrix}

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