实变函数自制笔记9：勒贝格积分的极限定理

1、非负可测函数积分的极限：

• 背景：在数学分析里，函数列极限函数黎曼可积性有这样的表述：，且每个均在上可积函数列的极限函数也在上可积；从而有这样的公式：；那我们会想，勒贝格积分与极限能否交换顺序？事实上这只能在很弱的条件下进行；
• 列维（Levi，亦称莱维）定理：已知为可测集上的非负可测函数渐升序列，且在上几乎处处收敛于（即），则有；
• 逐项积分定理：已知为可测集上的非负可测函数序列，则有：；其定理还有一个推论：已知为的互不相交可测子集列，且，则：在上有积分在每个上均有积分，且有；
• 法图（Fatou）引理：已知为可测集上的非负可测函数序列，则有：；这个引理可通过设中间非负可测函数列由列维定理证明得到，其中不等号可能成立的特例为：；
• 法图引理的一些思考：通过法图引理，我们可以说明即使是一个处处收敛的可测函数序列，极限和勒贝格积分也未必能交换顺序；当然如果在有限测度集上的可测函数序列一致收敛到某个函数，那就肯定能交换顺序，但一致收敛性要求太高，实际很难做到；不过，我们可以从一致收敛性的定义来着手降低些要求；

2、勒贝格控制收敛定理：

• 积分的绝对连续性：已知在上勒贝格可积（可简写为），则：，，使得且时，有；
• 勒贝格控制收敛定理：已知为可测集上的非负可测函数序列，其控制函数为（即满足），且在上勒贝格可积（可简写为）；则：（即依测度收敛于）在上是勒贝格可积的，且有；

1. 控制收敛定理的描述还有另外一种说法：已知在可测集上勒贝格可积（即），且满足这两个条件：；一个勒贝格可积的在可测集上，使得，则在上是勒贝格可积的，且有；
2. 上述说法里的条件可稍稍加强，比如能保证和条件当然更好；条件更弱一些就是定理后面写着的（依测度收敛）了；
3. 勒贝格控制收敛定理有个特例，便是勒贝格有界收敛定理：已知为有限测度可测集上的非负可测函数序列，且，为常数，有（即依测度收敛于）和；则在上是勒贝格可积的，且有；同样的，这个定理也可以像2里说的那样将条件稍稍加强，比如依测度收敛换成几乎处处收敛甚至逐点收敛（也就是收敛），换成对于每个，均成立等等；
4. 勒贝格控制收敛定理常用来解决已知函数列的情况下求的值，解决方法通常是：首先我们需要确定为有界可测函数列，有界性可以和之后找控制函数一起弄，而验证其为可测函数列只需要知道“可测集上的连续函数一定可测”即可验证；然后找出的控制函数，通常我们需要对含的取值进行分类，比如求时，我们自然会想到对的取值进行分类（和的情况）求其控制函数，一般得到的控制函数为按照分类整合的分段函数；由于得到的控制函数可以判断是黎曼可积的（连续必可积），黎曼可积必勒贝格可积（由此得到了勒贝格控制收敛定理的第一个大条件），然后通过求出的值并设为得到了（由此得到了勒贝格控制收敛定理的第二个大条件）；结合这两个大条件，由勒贝格控制收敛定理可得式子成立，由这个式子可以帮助我们解决要求的值；
5. 勒贝格控制收敛定理有这样一个应用定理：已知为上的有界函数，则有：在上黎曼可积 在上的不连续点集是零测集；