近世代数之集合与映射

集合：（有限或者无限个）固定事物的全体叫做一个集合。
元素：组成一个集合的事物叫做这个集合的元素
空集合：一个没有元素的集合叫做空集合
子集：若集合B的每一个元素都属于集合A，则说，B为A的子集，可记为$B\in A$；否则，B不是A的子集，记为$B\notin A$。
真子集：若集合B是集合A的子集，而且至少有一个A的元素不属于B，则说B为A的真子集。
交集：集合A与集合B的所有共同元组成的集合叫做AB的交集，记为$A\cap B$。
并集：由至少属于集合A和B之一的元素组成的集合叫做A和B的并集，记为$A\cup B$。
集合运算规则：
1、交换律：$A\cup B=B\cup A$;$A\cap B=B\cap A$
2、结合律：$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$;$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
3、幂等律：$A\cup A=A$;$A\cap A=A$
4、分配律：$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$;$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
例题（均自己回答的，仅供参考）
1、一列开区间的交是否还是开区间？答：不一定，例如 $A_n=(-1/n,1/n)$，则${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{A}_n=[0]$。
2、一列闭区间的并是否还是闭区间？答：不一定，例如$A_n=[-1/n,2]$，则${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{A}_n=0$。
映射：对于n个集合$A_i,i=1,...,n$和另外一个集合D。假如通过一个法则$\varphi$，对于任何一个$A_1\times A_2\times ...\times A_n$的元（$a_1,a_2,...,a_n$）($a_i\in A_i$)，都能得到唯一的$D$的一个映射**；元$d$叫做元$a_1,a_2,...,a_n$在映射$\varphi$之下的象；元（$a_1,a_2,...,a_n$）叫做元$d$在映射$\varphi$之下的逆象。
映射关系可记为$\varphi ：(a_1,a_2,...,a_n)\to d=\varphi (a_1,a_2,...,a_n)$
总结：映射一定是每一个元在映射关系下有且唯一有一个象。
代数运算：一个$A\times B$到$D$的映射叫做一个$A\times B$到$D$的代数运算。可以由$\circ$来表示：$(a,b)\to d=\circ (a,b)$。为了方便起见，可写成$(a,b)\to d=a\circ b$。
二元运算：假如$\circ$是一个$A\times A$到$A$的代数运算。我们就说，集合$A$对于代数运算$\circ$来说是闭的，也就是说$\circ$是$A$的代数运算或二元运算。
结合律：一个集合$A$的代数运算$\circ$适合结合律，假如对于$A$的任何三个元$a,b,c$来说都有，$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$。
定义：假如对于$A$的$n$个固定元$a_1,a_2,...,a_n$来说，所有的$\pi (a_1,..,a_n)$都相等，我们就可以由这些步骤可以得到的唯一结果，用$a_1\circ a_2\circ ...\circ a_n$来表示。
交换律：一个集合$A$的代数运算$\circ$适合于交换律，假如对于$A$的任何两个元$a,b$来说，都有$a\circ b=b\circ a$。

结合律与交换律都是同一种代数运算发生关系。分配律师两种代数运算发生关系的一种规律。
第一分配律：如果对于$B$的任何$b$，$A$的任何$a_1,a_2,...,a_n$来说满足$b\odot \left(a_1\oplus a_2\right)=\left(b\odot a_1\right)\oplus \left(b\odot a_2\right)$，则说运算$\oplus ,\odot$满足第一个分配律。
第二分配律：如果对于$B$的任何$b$，$A$的任何$a_1,a_2$来说满足$(a_1\oplus a_2)\odot b=\left(a_1\odot b\right)\oplus \left(a_2\odot b\right)$，则说运算$\oplus ,\odot$满足第二分配律。
满射：若是在一个集合$A$到集合$\bar{A}$的映射$\varphi$下，$\bar{A}$的每一个元都至少是$A$中某一个元的象，那么$\varphi$叫做一个$A$到$\bar{A}$的满射。
单射：一个集合$A$到集合$\bar{A}$的映射$\varphi$：$a\to \bar{a}$叫做$A$到$\bar{A}$的单射，假如$a\ne b\Rightarrow \bar{a}\ne \bar{b}$。
一一映射：假如一个集合$A$到集合$\bar{A}$的映射既满足满射又满足单射，那么映射叫做一一映射。
逆映射：若$f$为双射，则对于任意的$y\in Y$,存在唯一的$x\in X$使得$f(x)=y$。因此就得到从$y$到$x$的映射，记作$f^{-1}$，称为$f$的逆映射。
注：逆映射是反函数概念的直接推广。
原像集合：设$B\in Y$称$f^{-1}(B):=\left\{x\in X:f(x)\in B\right\}$为原像集合。
原像函数与反函数的区别：设$f:X\to Y$为映射，$A\subset X$，$B\subset Y$。则有$A\subset f^{-1}(f(A))$;$f(f^{-1}(B))\subset B$。
注：最直观的感受为原像集合比反函数映射到的集合大
在一个$A$与$\bar{A}$间的一一映射之下，$\bar{A}$的每一个元都是而且只是$A$里面一个元的象。
变换：一个$A$到$A$的映射叫做$A$的一个变换。
同态：一个$A$到$\bar{A}$的映射$\varphi$，叫做一个对于代数运算$\circ$和$\bar{\circ }$来说的，$A$到$\bar{A}$的同态映射，假如，在$\varphi$之下，不管$a$和$b$是$A$的哪两个元，只要：$a\to \bar{a},b\to \bar{b}$就有$a\circ b\to \bar{a}\bar{\circ }\bar{b}$。
同态满射：假如对于代数运算$\circ$和$\bar{\circ }$来说，有一个$A$到$\bar{A}$的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射。对于代数运算$\circ$和$\bar{\circ }$来说，$A$与$\bar{A}$同态。
定理：对于代数运算$\circ$和$\bar{\circ }$来说，$A$与$\bar{A}$同态，那么(i)若$\circ$适合结合律，$\bar{\circ }$也适合结合律。(ii)若$\circ$适合交换律，$\bar{\circ }$也适合交换律。
同构映射：一个$A$与$\bar{A}$间的一一映射$\varphi$是一个对于代数运算$\circ$和$\bar{\circ }$来说的，$A$与$\bar{A}$间的同构映射（简称同构），假如在$\varphi$之下，不管$a$和$b$是$A$的哪两个元，只要：$a\to \bar{a},b\to \bar{b}$就有$a\circ b\to \bar{a}\bar{\circ }\bar{b}$。记为$A\cong \bar{A}$。
自同构：对于$\circ$和$\circ$来说的一个$A$与$A$之间的同构映射叫做一个对于$\circ$来说的$A$的自同构。

这一章节将介绍群论，希望坚持更新，加油！